40.第四十讲：综合法与分析法

第四十讲 综合法与分析法一、引言综合法与分析法是中学数学证明中常用的方法，也是高考考查查的内容之一（一）知识框架如下：证明间接证明直接证明反证法数学归纳法分析法综合法（二）考试大纲要求：了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点（三）考情分析：对两种方法的考查在选择题、填空题和解答题中都有，单纯地考查并不常见，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出它可以和很多知识如函数、数列、三角函数、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到其他数学知识、技能和技巧，而且还考查了运算能力，分析问题和解决问题的能力二、考点梳理1综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。2.分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止，这种证明方法叫做分析法。三、典型例题选讲例1（2008江苏卷）设，为正实数，求证：分析：由想到可应用不等式证明：因为为正实数，由平均不等式可得即 所以，而所以 归纳小结：综合法是从已知到未知的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或以已证的命题出发，经过一系列的推理，最后导出要证的结论证明不等式常用的性质有，等，但应用这些不等式证明时，要注意不等式应用的范围和“”取得的充要条件例2（2009全国卷）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )A是偶函数 B是奇函数 C D是奇函数解：因为与都是奇函数，所以函数关于点，及点对称，函数是周期为4的周期函数因为是奇函数，所以是奇函数因此选D归纳小结：本题考查函数的性质，判断函数奇偶性的问题（主要是定义法和图象法），特别是函数的单调性、周期性常与奇偶性结合成为考试的重点例3（2007年重庆）如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于、两点（）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值解：（）抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为（2，0），准线l的方程为（）证明：如图作，垂足为、，则由抛物线的定义知，记、的横坐标分别为，则解得类似地，解得记直线与的交点为，则所以故归纳小结：本题是应用综合法解决解析问题，掌握综合法证明的基本方法是“由因导果”，即由已知条件出发，顺着推证，逐步推出求证的结论，综合法的特点是表述简单，条理清晰，它常用的是“，”，或“因为，所以”，或“”等表述方法例4（2008福建卷）已知是正数组成的数列，且点（）（）在函数的图象上()求数列的通项公式；()若数列满足，求证：解：（）由已知可求得()证法一：由（）知：从而，所以，所以因为，所以，即证法二：因为，因为，所以，即归纳小结：本题证法1中，把证明不等式成立的问题转化为比较大小的问题，可采用做差和零比较的方法，证法2中，利用递推公式，转化为数列的问题本题使用综合法证明数列问题，考查等差数列、不等式等基本知识，同时考查转化与化归思想，推理与运算能力例5(2008年海南宁夏)设函数，曲线在点处的切线方程为（1）求的解析式；（2）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值解：（1），于是解得或因为，所以（2）证明：已知函数，都是奇函数所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形由可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形（3）证明：在曲线上任取一点由知，过此点的切线方程为令得，切线与直线交点为令得，切线与直线交点为直线与直线的交点为从而所围三角形的面积为所以，所围三角形的面积为定值归纳小结：本题是函数和解析几何的综合证明题，此题可先采用分析法.分析法是“执果索因”，从要求证的结论出发，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止，在解决具体数学问题时，往往是先用分析法寻找使命题成立的充分条件，再结合已知条件，把问题中的隐含条件明确表示出来，用两种方法共同解决例6 知函数在上有定义，且满足,有（1）证明：在上为奇函数；（2）对数列，求；（3）求证（1）证明：令，则，所以令，则，所以，因此在上为奇函数（2）解：， ，所以，即是以1为首项，2为公比的等比数列所以（3）证明：.因为，所以，而，所以 归纳小结：本题将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法证明时先用分析法探索证明的思路，然后再用综合法叙述出来.四、本专题总结1.分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知.2.综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知.3.分析法和综合法各有优缺点：分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明的思路，然后再用综合法叙述出来.4.对证明的考查往往会结合函数、数列、解析几何、导数等知识，既要掌握基本的证明方法综合法和分析法，又要结合相关的数学知识，证明时把两种方法结合起来综合应用.6