多元函数微分法及其应用习题课件

多元函数微分法及其应用习题第九章第九章 多元函数微分法及其多元函数微分法及其 应用习题课应用习题课多元函数微分法及其应用习题一、内容回顾一、内容回顾1、偏导数的定义与计算、偏导数的定义与计算000000000 x0()(,)(,)limx xx xy yy yxxf xxf xyzzfxyxx 00000000000(,)()(,)limx xx xy yy yyyyf xyxf x,yzzfxyyy 求函数求函数 的偏导数的偏导数 时，只要把时，只要把 暂时看作常量暂时看作常量而对而对 求导数；求导数；),(yxfz xz yx类似地，可求函数类似地，可求函数 的偏导数的偏导数 。yz ),(yxfz 多元函数微分法及其应用习题2、多元复合函数求导法则、多元复合函数求导法则 zuvtzuvxydzz duz dvdtu dtv dtzzuzvxu xvx zzuzvyuyvy (1)设设 和和 在点在点 可导，可导，在对应点在对应点 处可微，则复合函数处可微，则复合函数 在点在点 处可导，且处可导，且)(tu t)(tv ),(vufz ),(vut)(),(ttfz (2)设设 和和 存在偏导数，存在偏导数，在对应点在对应点 处可微，则复合函数处可微，则复合函数 在在 偏导数存在偏导数存在,且且),(yxu ),(yxv ),(vufz ),(vu),(),(yxyxfz ),(yx多元函数微分法及其应用习题3、隐函数的导数、隐函数的导数()yf x 由方程由方程 确定的一元函数确定的一元函数 ，0),(yxF则有：则有：yxFFdxdy zxFFxz zyFFyz 由方程由方程 确定二元函数确定二元函数 ，则有则有：0),(zyxF),(yxfz 多元函数微分法及其应用习题（2）.由四个变量两个方程由四个变量两个方程 所构成的方程组所构成的方程组,如如 0),(0),(vuyxGvuyxF确定隐函数两个二元函数确定隐函数两个二元函数),(yxuu ).,(yxvv 方程组方程组（1）.由三个变量两个方程所构成的方程组由三个变量两个方程所构成的方程组,如如 0),(0),(vuxGvuxF确定隐函数两个确定隐函数两个一元函数一元函数方程组方程组).(),(xvvxuu .dd,ddxvxu求求.,yvxvyuxu 求求由方程组所确定的隐函数由方程组所确定的隐函数多元函数微分法及其应用习题4、多元函数微分学在几何上的应用、多元函数微分学在几何上的应用4.1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面切线方程：切线方程：000000()()()xxyyzzttt 法平面方程：法平面方程：000000()()()()()()0txxtyytzz (1)():()()()xtLyttzt ,则则 在点在点 处处L000(,)M xyz多元函数微分法及其应用习题切线方程：切线方程：法平面方程：法平面方程：000001()()xxyyzzxx00000()()()()()0 xxxyyxzz 切线方程和法平面方程可转化为第切线方程和法平面方程可转化为第(2)种形式，种形式，求出求出 即可即可.(1,)dy dzTdx dx (3)(,)0:(,)0F xyzLG xyz ,则则 在点在点 处处L000(,)M xyz(2),则则 在点在点 处处():()yxLzx L000(,)M xyz多元函数微分法及其应用习题4.2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线切平面方程：切平面方程：000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzF xy zxxF xy zyyF xy zzz 法线方程：法线方程：000000000000(,)(,)(,)xyzxxyyzzF xyzF xyzF xyz 切平面方程：切平面方程：法线方程：法线方程：0000000(,)()(,)()xyzzfxyxxfxyyy 0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy(2),则则 在点在点 处处:(,)zf xy 000(,)M xyz(1),则则 在点在点 处处:(,)0F x y z 000(,)M xyz多元函数微分法及其应用习题5.方向导数与梯度方向导数与梯度 x x0y y00000220(,)()limtf xx yyf x,yzlxy 二元函数二元函数 在点在点 沿方向沿方向 的方向导数为的方向导数为),(yxfz ),(000yxPl计算公式:coscoscoszfyfxflfcossinffflxy其中其中 是方向是方向 的方向余弦。的方向余弦。cos ,cos ,cosl其中 为x 轴到方向 的转角l多元函数微分法及其应用习题000000grad(,)(,)(,)xyf xyfxyifxyj函数函数(,)zf x y在点00(,)Pxy处的梯度为一向量:.)()(),(.22yfxfyxgradf 梯梯度度的的模模为为大大值值它它的的模模为为方方向向导导数数的的最最向向导导数数的的方方向向一一致致，而而它它的的方方向向与与取取得得最最大大方方样样一一个个向向量量，函函数数在在某某点点的的梯梯度度是是这这结结论论多元函数微分法及其应用习题6.无条件极值求法步骤：无条件极值求法步骤：求求 ,得全部驻点得全部驻点.(,)0 xfxy (,)0yfxy 求求 ,00(,)xxfxyA 00(,)xyfxyB 00(,)yyfxyC 由判别驻点为极值点的条件，验证由判别驻点为极值点的条件，验证 的符号的符号,2ACB 确定极值点，求出极值。确定极值点，求出极值。多元函数微分法及其应用习题7.条件极值求法：条件极值求法：(拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）乘数法）乘数法)求出极值。求出极值。构造辅助函数构造辅助函数(,)(,)(,)F xyf xyxy 求解求解 (,)(,)0(,)(,)0(,)0 xxxyyyFfxyxyFfxyxyx y 得出得出 ,xy,xy就是可能的极值点就是可能的极值点.),(yxfz 0),(yx 函数函数 在条件在条件 下的可能极值点下的可能极值点:多元函数微分法及其应用习题二、典型例题、典型例题 解：解：1yzuyxxz 1lnyzuxxyz 2lnyzuyxxzz 例例1、求函数求函数 的偏导数的偏导数.yzux 分析：因为函数分析：因为函数 为三元函数，所以，应分别求对为三元函数，所以，应分别求对 yzux,x y z的偏导数。的偏导数。多元函数微分法及其应用习题解：根据复合函数求偏导法则得解：根据复合函数求偏导法则得 例例2、设、设 ,而而 ,求求 和和 .sinuzev uxy vxy zx zy zzuzvxu xvx sincos1uuev yev sin()sin()xyeyxyxy zzuzvyuyvy sincos1uuev xev sin()sin()xyexxyxy 多元函数微分法及其应用习题 例例3、设设 ,其中其中 具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，),(22xyyxfz f求求2,.zzxx y 解：解：设设 ,22,uxyvxyzzuzvxu xvx 122xfyf212(2)zxfyfx yy 2221112224(22)fxyfxyfxyf 则则多元函数微分法及其应用习题利用隐函数的求导公式得利用隐函数的求导公式得 xzFzxF 2yzzxy 2yzzxy yzFzyF 2xzzxy 2xzzxy 解解:令令 ,则则33(,)3F xyzzxyza 23,3,33xyzFyz Fxz Fzxy 例例4、设设 ,求求 .333zxyza 2zx y 分析：如果令分析：如果令 ,则由方程则由方程 33(,)3F xyzzxyza (,)0F x y z 确定了确定了 是是 的函数的函数,求求 用隐函数求导法。但在求二阶混用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。合偏导时，应采用直接求导法。zxy，zx 多元函数微分法及其应用习题22()zyzx yy zxy 222()()(2)()zzzyzxyyzzxyyzxy 422223(2)()z zxyzx yzxy 计算计算 时，我们采用在方程两边同时对时，我们采用在方程两边同时对 求偏导的方法求偏导的方法,2zx y y并视并视 为为 的二元函数的二元函数 ,得得z,x y(,)z x y多元函数微分法及其应用习题(1,1,2 2)2(,)(1,1,2)tttTxyz 例例5、求曲线、求曲线 在点在点 sin,1cos,4sin2txtt yt z (1,1,2 2)2 处的切线及法平面方程。处的切线及法平面方程。分析：此曲线为参数方程分析：此曲线为参数方程,只需求出切向量为只需求出切向量为再求出切点，即可得切线及法平面方程。再求出切点，即可得切线及法平面方程。(,),tttTxyz 解：解：因因 1cos,sin,2cos2ttttxtytz故在点故在点 处的切向量为处的切向量为(1,1,2 2)2 多元函数微分法及其应用习题所求切线方程为：所求切线方程为：112 22112xyz 法平面方程为：法平面方程为：(1)(1)2(2 2)02xyz 即即 2402xyz 多元函数微分法及其应用习题2220222dydzxyzdxdxdydzxyzdxdx 解：解：将所给方程的两边同时对将所给方程的两边同时对 求导得求导得 x 例例6、求曲线、求曲线 在点在点 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.22222250zyxzyx)5,4,3(分析：此曲线由方程组的形式给出分析：此曲线由方程组的形式给出,也可视为参数方程也可视为参数方程,视视 x为参数，则切向量为为参数，则切向量为 ,利用直接求导法对方程利用直接求导法对方程组求导组求导,解方程组解方程组,求出切向量求出切向量,即可得切线及法平面方程。即可得切线及法平面方程。(1,)dydzTdxdx 多元函数微分法及其应用习题(3,4,5)(1,)dydzTdxdx 31(1,0)(4,3,0)44 因此所求切线方程为因此所求切线方程为345430 xyz 法平面方程为法平面方程为 4(3)3(4)0 xy 即即 430 xy 则曲线在点则曲线在点 处的切向量为处的切向量为)5,4,3(解得解得 dyxdxy 0dzdx 多元函数微分法及其应用习题(2,1,4)(,1)|xynff (2,1,4)(2,2,1)(4,2,1)xy 故切平面方程故切平面方程为为4(2)2(1)(5)0 xyz 即即 4250 xyz 法线方程为法线方程为 215421xyz 例例7、求旋转抛物面、求旋转抛物面 在点在点 处的切平面及处的切平面及 法线方程法线方程.22yxz )5 ,1 ,2(分析：此曲面可看成分析：此曲面可看成 的形式的形式,只需求出只需求出法向量法向量 ,即可求出切平面及法线方程即可求出切平面及法线方程.22(,)zf x yxy (,1)xynff 解：设解：设 ,则则 22),(yxyxf 多元函数微分法及其应用习题解：沿梯度方向的方向导数最大。梯度为解：沿梯度方向的方向导数最大。梯度为 grad(,)uuuu xyzijkxyz222y zixyzjxy k所以所以 22(1,1,2)grad(1,1,2)2|uy zixyzjxy k 24ijk方向导数的最大值为方向导数的最大值为 222|grad(1,1,2)|2(4)121u 例例8、问函数、问函数 在点在点 处沿什么方向的方向处沿什么方向的方向 导数最大？并求此方向导数的最大值。导数最大？并求此方向导数的最大值。2uxy z(1,-1,2)P多元函数微分法及其应用习题解：解：解方程组解方程组 22212(2)02(22)0 xxxyfexyyfey 得驻点得驻点 1(,1)2M 又又 222(2243)xxxfexyy 24(1)xxyfey22xyyfe 所以所以 1(,1)4,2xxAfe1(,1)0,2xyBf1(,1)2,2yyCfe 故故 2280ACBe 40Ae 1(,1)22ef 例例9、求函数、求函数 的极值的极值.22(,)(2)xf xyexyy 因此因此 在点在点 处取得最小值处取得最小值,且为且为(,)f xy1(,1)2 多元函数微分法及其应用习题求解求解 001 xyFyFxxy 所以，函数的极大值为所以，函数的极大值为 1 11 1(,)(,)2 22 21|4zxy得得 为唯一驻点为唯一驻点.11,22xy 例例10、求函数、求函数 在适合附加条件在适合附加条件 下的极大值下的极大值.zxy 1xy 分析：求函数分析：求函数 在适合附加条件在适合附加条件 下的极大值下的极大值,zxy 1xy 为条件极值，用拉格朗日乘数法。为条件极值，用拉格朗日乘数法。解：构造辅助函数解：构造辅助函数(,)(1)F xyxyxy