定积分计算公式和性质-定积分计算公式大全

第二节 定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为图 5-10从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为图 5-11另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11） 即由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。例1 计算因为是的一个原函数所以例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12)解 这个图形的面积为图 5-12 二、定积分的性质设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A为常数)性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即这个性质对有限个函数代数和也成立。性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。性质4 如果将区间分成两个子区间及那么有这个于区间分成有限个的情形也成立。下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。当a<c<b时，从图5-13a可知，由y=f与和x=a x=b及x轴围成的曲边梯形面积:图 5-13a图 5-13b因为所以即性质4成立。当a<b<c时，即点c在外，由图5-13b可知，显然，性质4也成立。总之，不论c点在内还是外，性质4总是成立的。例3 求 例 4 求解 = 例 5 求解 所以 例 6 求解 于是， 例 7 设 求解 因为 所以=例8 火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。设火车以加速度a=-5m/刹车。问从开始刹车到停车，火车走了多少距离？解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当 时火车速度刹车后火车减速行驶。其速度为当火车停住时，速度，故从解得 于是在这段时间内，火车走过的距离为 =即在刹车后，火车需走过40m才能停住。 习题 5-21 求下列定积分：（1） (2) (3) (4) (5) （6）(7) (8) (9) (10) (11)设2.求由与直线x=1,x=2及x轴所成的图形的面积。