浮体在波浪中的运动响应

2.3 浮体在波浪中的运动响应2.3.1 浮体动力学方程单自由度刚体自由振动时其动力学方程为:(M + AM)X + BX + KX = 0(2-48)式中：M为刚体对应自由度的质量或惯性质量；AM为刚体对应自由度的附加质 量或附加质量惯性质量；B为阻尼；K为刚体对应自由度的恢复刚度。式(2-48)每一项都除以(M + AM)，则式子变为：X + 2RX + 22 X = 0(2-49)式中：Z = B/2(M + AM)入为无量纲阻尼比；入= 匚己为刚体对应自由度的运 M+AM动固有周期。当浮体受到简谐载荷作用时，其运动方程为：X + 2(AX + 22X = -sin3t(2-50)M+AM浮体运动稳态解为：X(t) = Asint B)(2-51)其中：A =心 1 为运动幅值;Y = 乂为简谐载荷频率与结构固有频率的K J(iy2)2+(2")2几比; B = arctan込心为运动滞后于简谐载荷的相位。1/2运动幅值与静位移的比称为动力放大系数DAF (图2.9)，即:图 2.9 动力放大系数与无量纲阻尼及频率比的关系无量纲阻尼比Z = 0时，DAF=，当激励频率与固有频率接近时，J(1Y 2)2DAF趋近于g；当无量纲阻尼比ZHO时，DAF极值为DAFmnr =1=；max 2<1C 2当无量纲阻尼比Z较小时，DAF极值近似为DAFmax丄。2C由此可以看出，系统阻尼越大，动力放大系数DAF越小，阻尼的存在对于 抑制共振幅值起着关键作用。对于相位：当阻尼比较小，且频率比Y远小于1时，相位角B趋近于0;当频率比Y远大于1时，相位角B趋近于n；当频率比Y=1时，无论阻尼比为何值，响应相位B = n/2。 如图2.10所示为相位角与无量纲阻尼比及频率比的关系。图 2.10 相位角与无量纲阻尼比及频率比的关系在多种环境载荷作用下，浮体动力方程可以表达为：M + AMX + Brad + %X + 8以阴域 + Km。畑X =F +F12厶OW+ F +F2High wind+ F +Fcurrent others2-53)其中：M 为浮体质量矩阵M为浮体附加质量矩阵;Brad为辐射阻尼矩阵； Bvis为黏性阻尼矩阵； %域为静水刚度;5。叽为系泊系统刚度；F1为一阶波频载荷；F2厶为二阶低频载荷； F2HS为二阶高频载荷;F说问为风载荷；Fcurrent为流载荷;Fothers为其他载荷。浮体运动自由度的固有周期表达式为：-M00MM =000- MzG%0一-MyGMxG其中质量矩阵表达式为：T. = 2n i、/MnMn1 JZJZV ii,stillwaterii,mooring00MzG- My0- MzG0MxGMMyG- MxG0MyGIIIGxxxyxz- MxIIIGyxyyyz0IzxIzyIzz2-54)2 - 55)式中（xG,yG,zG）为重心位置；Iij为惯性质量。 刚度矩阵表达式为：00000000K=00pgSpgS2ij, Stillwater00pgS2Pg(S22 + VZB)-00pgS1- pgS12_000- pgVXB + M0000-pgS0-PgS12 PgVXB + M%pg(S11 + SZB) - Mg命 -pg«B + Mgy；-pgVyB + Mgy,02 - 56)其中：（xb,yb,zb）为浮心位置；S为水线面面积；Sj/Sjj为水线面面积一阶/二阶 矩。M、BradF1、F2厶 ow、F2High可以由水动力计算软件求出;Bvis可以通过莫里森单元进行计算，也可以自行指定并添加到计算模型中;为系泊刚度，可以由系泊分析软件给出结果，也可以自行输入到计算模型中;Fwind风载荷一般通过指定风力系数，在计算模型中输入风速来进行计算； F current流载荷一般通过指定流力系数，在计算模型中输入流速来进行计算。Heave广j tL1S way01SklTC图 2.11 浮体的六个运动自由度对于浮体运动通常需要考虑六个自由度：纵荡（Surge）、横荡（Sway）、升 沉（Heave）、横摇（Roll）、纵摇（Pitch）以及艏摇（Yaw），如图2.11所示。对 于一般的船型结构物，纵荡、升沉、纵摇运动是耦合的；横荡、横摇运动是耦合 的。2.3.2 频域分析（ 1 ） RAO浮体运动幅值响应算子（Response Amplitude Operaters, RAO）的含义是浮体 对应自由度运动幅值与波幅的比，表明在线性波浪作用下浮体的运动响应特征。 以船舶的横摇运动为例，横摇 RAO 为船舶在单位波幅的规则波作用下所产生的， 关于波浪频率的横摇运动幅值函数，近似表达式为：Roll=冬=DAF 吐 573sinp（2-57）RAO fRoll g其中：为船舶横摇运动幅值；a为入射波波幅，此处为规则波单位波幅；DAFroU 为横摇运动方程得到的动力放大系数；3为入射波圆频率；B为入射波角度，式 （2-57 ）单位为。/m。RAO 本质上描述的是线性条件下入射波福与浮体运动幅值的关系。但描述刚 体运动仅关注幅值响应是不够的，还需要关注运动响应相位的变化。当对运动响应结果求一次导数、二次导数后，对应的运动RAO变为运动速度响应RAO和加速度响应RAO。(2)不规则波作用下的波频运动响应对于一个给定的波浪谱S(3),零航速下浮体的波频运动响应谱Sr (®)可以表达为：S (e) = RZ02S(e)(2-58)R根据响应谱得到的第 n 阶矩的表达式为：mnR = J0° 3叫(3)畑(2-59)其中：mnR为运动方差。一般认为短期海况符合窄带瑞利分布，浮体的波频运动 近似认为同样符合瑞利分布,则浮体波频运动有义值可以根据谱矩求出,即Ri/3 = 2临(2-6°)对应运动平均周期t1r和平均跨零周期t2R为：T = 2兀旦or1RmmiRT = 2nm2Rm2R(3)不规则波作用下的波频运动统计分析浮体运动响应值Ra以瑞利分布表达：af(R ) =exp-a m0R2m0R那么Ra大于a的概率为:aP(R > a) = J°-exp(_L) dR = exp(aa m0R2m0Ra对上式两边求对数，则:Ra/%a2 )2m0R(2-61)(2-62)(2-63)(2-64)(2-65)K代表不同保证率，其与超越概率的关系如表2.3所示。表 2.3 超越概率与保证率及对应统计值关系超越概率F(ZO)%0.13.913.5对应累计概率%99.996.186.5对应统计值3.722.55千分之一值十分之一值与标准差Jm07的倍数三分之一值（有义 值）2.00对于服从窄带瑞利分布的波浪和波浪频域的浮体运动响应，可以从频域角度 根据方差来推断极值，如千分之一极值等于 3.72 倍的方差，等于 1.86 倍的有义 值。对于“短期海况”时间t,浮体波频运动次数为t/T1R次，那么出现的最大值 所对应的超越概率为发生次数的倒数T1R/t，则浮体运动最大值Rmax为： exp （_也）=滋2m0R七RmaX = J-?%吟=皿叶L1 1R(2-66)OR(2-67)（4）低频运动的谱分析 低频波浪载荷以谱的形式可以表达为下式：SF2_3） = 8 J°°S（3）S（3 + 血）耳仏+嘗）2de0其中：S（s）为波浪谱，Fj（s+学）为对应频率s +学的平均波浪漂移力。(2-68)系泊状态下的浮体低频响应动力方程为：（M + AM）X + B'X + K讥X = F.（t）(2-69)式中：AM为低频附加质量；B，为系泊状态下的系统阻尼；Km为系泊恢复刚度;F（）为低频漂移力。 对于系泊状态的浮体纵荡运动，其响应谱可以表达为：S°R2-（血）=L（血）叫2-（血）（2-70）R2-（Ae）为质量-阻尼-弹簧系统的动力学导纳。根据之前的谱分析理论，则 纵荡运动的低频方差为：m 伽）=严 »2-（血）（2-71）u”2-' 丿 0 Km-（M+AM）Aw22+B/2A2由于系泊系统往往是小阻尼低频共振系统，因而上式中对于运动方差的主要 贡献是纵荡固有周期附近的共振激励载荷，典型的低频运动极值为标准差的 3-4 倍。2.3.3 时域分析时域分析引入了单位脉冲函数S(T)，其作用在系统上产生一个对应的响应 h(t - t)，即脉冲响应函数，其含义为浮式系统受到脉冲作用后产生的响应，表 达的是受到脉冲影响发生运动直至恢复平静状态的过程中系统所经历的响应特 性。线性系统在某段时间内的响应可以视作多个线性响应的叠加，即：R(t)=严 f(1-T)h(T)dz(2-72)8其中：f(1 z)为一段时间内的波高升高。h(r)可以通过频域分析中的频率响应函数经过傅里叶变换得到：h(T)= f8 H(e)eMtde(2-73)8 对于有系泊系统的浮式结构物，其运动方程可以写为： 6=1(aij + mij(t) j(t) + f0)Kij(t 说卫)妣 + C.x.(t) = F.(t)i=l,6(2-74)其中：aij为浮体的惯性质量矩阵；mij(t)为附体的附加质量矩阵；叫为延迟 函数矩阵；Cq为静水恢复力矩阵；Fi(t)为波浪激励力；尊为浮体位移矩阵。 延迟函数矩阵Kij(t)为：Kq(t) = 2坍怜(e) cos(t) ds(2-75)延迟函数Kj(t)为频域水动力求解出的辐射阻尼Bij( 3 )经傅里叶逆变换求出。为获得浮体在波浪中的运动位移矩阵Xj(t)，必须知道浮体的附加质量矩阵 mij(t)延迟函数矩阵Kij(t)和波浪激励力矩阵片。波浪激励力片为：©(£) = 丫加 RAKF.(k)e-t(kt+ek)(2-76)式中：ak、叭、色对应波谱中每个规则波成分波的波幅、频率和相位；片(叫)是 频率为的单位波幅对应波浪激励力。当求出浮体的附加质量矩阵、延迟函数矩阵、静水恢复力矩阵、波浪激励力 矩阵和浮体位移矩阵后，可以使用数值方法，经过迭代求解，最终求出浮体的运 动时域响应与缆绳张力时域响应等结果。系泊系统与悬链线理论1、系泊系统系泊系统按照系泊缆几何形态与力学特性，可以分为悬链线式系泊和张紧式 系泊两大类。（1）悬链线式系泊悬链线系泊方式（图 2.12）是浮式结构物常见且传统的系泊方式。通常而言， 悬链线系泊方式适用水深较浅。悬链线系泊系统的系泊缆呈现外形弯曲的悬链线 形状，系泊系统的水平恢复力主要由悬在水中的系泊缆悬挂段和躺卧在海底的趟 底段的缆绳重力提供，通常系泊缆的趟底段长度较长，在最恶劣海况下趟底段仍 需要保持一定的长度以保证锚不受到上拔力作用，因而，悬链线系泊系统需要的 系泊半径范围较大。图 2.12 悬链线系泊方式2）张紧式系泊随着水深的增加，悬链线系泊系统的水中悬挂段重量快速增加，增加了系泊 缆设计难度和浮体所受到的垂向载荷，在深水、超深水浮式浮体系泊系统中，张 紧式系泊系统（图 2.13）得到广泛应用。图 2.13 张紧式系泊方式式系泊系统与海底呈一定角度，系泊缆保持张紧状态，系泊系统的恢复刚度主要靠缆绳轴向刚度来提供，海底锚受到较大的上拔力。由于张紧式系泊系统依 靠系泊缆轴向刚度来提供恢复力，因而同样情况下张紧式系泊系统的系泊半径比 悬链线系泊系统要小，系泊缆悬挂段多采用重量轻、弹性好的合成纤维系泊缆。2、悬链线方程（1）不考虑弹性影响 处于悬链线状态、不考虑缆绳弹性的单一成分缆，其最低点与海底相切，对 应倾角为零，此时该点的系泊张力 T0 等于该缆任意悬挂位置点的水平分力，对应的主要公式有：1 = asinh(E)a(2-77)H = acosh (S) 1 a(2-78)l0 = yH2 + 2Ha(2-79)a = TJw(2-80)系泊缆顶端最大张力：T= T + wHmaxH(2-81)W为单位长度缆绳水中重量；H为水深；1为整个缆绳长度；T0为海底切点 位置的水平张力；S为顶端张力位置与海底切点的水平距离；10为缆绳悬挂段长在水深H、缆绳单位长度水中重量w以及水平张力T0已知的情况下，可以 求解缆绳下端切线位置对应的缆绳长度10、系泊缆顶端张力T及其倾角，以及顶 端与海底切线位置的水平跨距 S。在 H 水深、系泊缆长度 1 以及单位长度水中重量 w 已知的情况下，可以求 解保持下端张力水平方向所能承受的最大水平张力Tmax，此时需要进行判断：如 max果T0<Tmax则系泊缆具有卧链长度，据此可以求出其他参数；如果T0>Tmax则系0 max0 max泊缆完全拉起，此时锚点将受到上拔力的影响。（2）考虑弹性系泊缆实际情况下是具有弹性的，某些场景忽略系泊缆弹性影响得到的结论是不准确的。系泊缆悬挂段未被拉长的长度10可写为：20 =（2-82）WTz为上端系泊点垂向受力，等于系泊缆悬挂水中的垂向重量，w为单位长度 重量。H = 一To+丄竺化（2-83）w 112 AE 0Lcoswcos0 = th（2-84）e为系泊点轴向张力与水平力的夹角。缆绳上端系泊点水平张力t0：T = T2(wH 1l2)20 2(wH 总)系泊缆顶端张力可以表达为：T =阮 + T27 H Zs = Nlog (扭w+T+Tz)Th(2-85)(2-86)(2-87)具体计算时，可以先假定一个Tz，随后根据式（2-82）、式（2-85）至式（2- 87）分别计算10、T0、T、S四项。当T0已知的时候，根据以上各步骤对各个Tz 进行计算，随后可以根据数据进行内插，最终得到合适的解。3、动态理论计算在水深相对较浅的时候，系泊缆呈现较为明显的悬链线特征，随着水深的增 加，系泊缆呈现更强烈的柔性特征，环境条件作用在系泊缆上的载荷以及系泊缆 的动态响应变得不可忽略。缆绳动力分析的主流计算理论有集中质量法和细长杆理论两大类。 集中质量法是将系泊缆以多自由度的弹簧-质量模型来代替，采用有限差分 法求解动力问题。细长杆理论将系泊缆假设为连续的弹性介质，采用有限元法求解系泊缆的静 力与动力响应问题。4、低频运动的阻尼由于受控于固有频率的共振响应，系泊浮体的低频运动发生在很窄的频率范 围内，运动幅值大小高度依赖于系泊系统的刚度和阻尼，而阻尼具有相当的不确 定性。系泊状态下的浮式结构物系统阻尼有：结构物运动产生的兴波阻尼、波浪漂 移阻尼、结构物黏性阻尼（包括风、浪和流拖曳力）、风阻尼、系泊缆阻尼、立 管阻尼等。这些阻尼成分都不同地影响着整个系泊系统的运动。有研究表明，锚 泊阻尼最大可达整个系统阻尼的 80%以上。图 2.15 为浮体平面移动所引起的悬链线系泊缆运动。浮体运动越剧烈，系 泊缆的运动越剧烈，相应地产生的阻尼越大。200m 水深散布式系泊的油轮纵荡波浪漂移阻尼、浮体黏性阻尼和缆绳阻尼 对能量耗散的影响如图 2.16 所示。结果表明纵荡运动幅值加大，缆绳的大幅运 动使得锚泊系统的阻尼加大，而波浪漂移阻尼与黏性阻尼成分并没有发生明显的图 2.17 Catenary line motion caused by vessel horizontal translation图 2.16 Relative energy dissipation caused by surge damping contribution对于浮体与系泊系统、立管系统的耦合，系泊与立管系统的阻尼主要影响浮 体的低频运动。对于浅水半潜式钻井平台，系泊系统和立管的阻尼通常被忽略。 随着水深，立管与系泊缆数目的增加，系泊和立管的阻尼越来越重要。如图 2.17 和图 2.18 所示，随着水深的增加，纵荡低频阻尼逐渐增加；立管数目的增加使得 纵荡低频阻尼有所增加（Spar除外）。对于深水系泊分析来讲，忽略系泊缆绳的阻尼影响是不严谨的。图 2.17 Low Frequency Surge Damping1&rtnibei Risdifr gUf ucprHurntiK ?FSO SEMI-M TIP图 2.18 Effect of Risers on Low Frequcy-Hurricane Surge Damping估算纵荡阻尼和横荡阻尼的例子：对于150m水深，没有立管的散布式系泊 的船，纵荡阻尼为5%至10%的临界阻尼；对于450m水深，具有8根系泊缆而 没有立管的双浮箱半潜式钻井船，纵荡阻尼为10%的临界阻尼。纵荡黏性慢漂阻尼可按下式进行估算：古=p'mvS(2-88)其中：P为流体密度；u为流体黏性系数；S为湿表面积。由于式(2-88)基 于线性边界层理论，并未考虑流动分离的影响，因而一般情况下其计算值与实际 值相比偏小。耦合分析方法与张力分析理论1、非耦合与全耦合分析 处于风、浪、流环境载荷影响下的浮体及系泊系统所受到的载荷本质上是相 互影响、相互耦合的，在分析之中需要予以充分考虑。当前主流的分析方法主要 有以下三种：（1）非耦合计算方法 浮体与系泊缆的响应分开计算：考虑系泊系统的刚度、缆绳受到的水动力载 荷、外界环境载荷等作用，求解浮体在平均载荷、波浪载荷和低频波浪载荷作用 下的浮体运动响应，之后求解缆绳张力响应。这种方法主要是频域分析方法，适 用于系泊系统的初始设计阶段。（2）半耦合计算方法 对浮体系泊状态下的波频、低频响应分开考虑：浮体系泊状态下的波频运动 通过 RAO 来计算；浮体在低频波浪载荷、风力、流力作用下的漂移以及系泊缆 的张力进行耦合分析，分析方法为时域分析法，但波频运动对于系泊缆的张力贡 献考虑有限，一般而言计算精度略低于全耦合分析方法。（3）全耦合计算方法 系泊缆的动力响应与浮体运动响应完全耦合计算，浮体波频运动和低频运动 在时域范围内共同求解。全耦合计算方法是主流的系泊分析方法，计算结果可靠， 主要用于系泊系统设计载荷的规范校核和系泊浮体整体运动性能分析。表 2.4 非耦合与耦合计算方法对比波频运动计算 方式低频运动计算系泊缆张力计算方法计算时间频域谱分析频域谱分析以频域运动结果代入 系泊缆计算方程中推 导非耦合频域分 析非常快RAO低频时域波浪 载荷低频时域耦合求解半耦合时域分 析快波频时域波浪 载荷低频时域波浪 载荷全耦合时域求解全耦合时域分 析慢2、系泊张力分析方法系泊系统中的系泊缆响应是系泊分析中的重要分析内容，主要有以下三种方法：（1）静态计算系泊系统以刚度形式进行静力计算，先求得系泊系统的各个方向刚度情况， 将位移代入刚度数据中求解各个缆绳的张力响应，系泊缆受力以静恢复力考虑。（2）准静态法准静态法忽略系泊缆重量、阻尼以及其他动力响应特性，一般准静态计算方 法求出的缆绳张力响应偏低，因而一般校核安全系数要求更高。（3）动态分析 动态分析完全能考虑缆绳重量、缆绳水动力载荷以及其他动态响应，系泊缆的非 线性张拉，缆绳与海底接触的摩擦力、系泊缆的附加质量、拖曳力等，与浮体运 动响应在时域分析中进行完全耦合分析。主要计算理论有集中重量法与细长杆理 论。