复变函数试题及答案

一、填空题（每小题2分）1、复数的指数形式是 2、函数=将上的曲线变成()上的曲线是 3.若,则 4、= 5、积分= 6、积分 7、幂级数的收敛半径R= 8、是函数的 奇点9、 10、将点,i,0分别变成0,i,的分式线性变换 二、单选题（每小题2分）1、设为任意实数，则=（ ）A 无意义 B等于1 C是复数其实部等于1 D是复数其模等于12、下列命题正确的是（ ）A B 零的辐角是零 C仅存在一个数z,使得 D 3、下列命题正确的是（ ）A函数在平面上处处连续B 如果存在,那么在解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数 4、根式的值之一是（ ）A B C D 5、下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ）A B C D 6、下列积分之值不等于0的是( )A B C D 7、函数在处的泰勒展式为（ ）A （<1） B （<1）C （<1） D （<1）8、幂级数在内的和函数是（ ） A B C D 9、设a，C：=1，则（ ） A 0 B i C 2ie D icosi10、将单位圆共形映射成单位圆外部的分式线性变换是（ ）A B C D 三、判断题（每小题2分）1、（ ）对任何复数z,成立2、（ ）若是和的一个奇点,则也是的奇点3、（ ）方程的根全在圆环内4、（ ）z=是函数的三阶极点5、（ ）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6分）1、已知在上解析,求a,b,c,d的值2、计算积分3、将函数在的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=5、求在指定圆环内的洛朗展式6、求将上半平面共形映射成单位圆的分式线性变换，使符合条件， 五、证明题（每小题7分）1、设（1）函数在区域内解析（2）在某一点有，（）证明：在内必为常数2、证明方程在单位圆内有个根一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分）1 ，2 ， 3 (2k+1),(k=0,)， 4 (k=0,)5 , 6 0 , 7 , 8 可去， 9 ， 10 二 单选题（每小题2分，共20分）1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A三 判断题（每小题2分，共10分） 1 2 3 4 5 四 计算题（每小题6分，共36分）1解：, 分 5分 解得: 分2 解：被积函数在圆周的内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 分 =2i(-2+2)=0 分3 解： = 4分 （<2） 6分4 解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个一阶极点i,2i 1分 I= 2分 = 3分 = 5分 = 6分5 解： 1分 = 3分 = 6分6 解: =L(i)=k 分 3分 4分 6分五 证明题（每小题7分，共14分）1 证明:设 在解析 由泰勒定理 2分 由题设 ， 4分 由唯一性定理 7分2 证明：令 ， 分 (1）及在解析 (2）上， <5 分 故在上，由儒歇定理在内 7分一、填空题（每小题2分）1、的指数形式是 2、= 3、若0<r<1，则积分 4、若是的共轭调和函数，那么的共轭调和函数是 5、设为函数=的m阶零点，则m = 6、设为函数的n阶极点，那么 = 7、幂级数的收敛半径R= 8、是函数的 奇点9、方程的根全在圆环 内10、将点,i,0分别变成0,i,的分式线性变换 二、单选题（每小题2分）1、若函数在区域D内解析，则函数在区域D内（ ）A在有限个点可导 B存在任意阶导数C 在无穷多个点可导 D存在有限个点不可导2、使成立的复数是（ ）A 不存在 B 唯一的 C 纯虚数 D实数3、（ ） A sin1 B sin1 C 2sin1 D 2sin14、根式的值之一是（ ）A B C D 5、是的（ ）A 可去奇点 B 一阶极点 C 一阶零点 D 本质奇点6、函数，在以为中心的圆环内的洛朗展式有m个，则m=( )A 1 B 2 C 3 D 47、下列函数是解析函数的为（ ）A B C D 8、在下列函数中，的是（ ） A B C D 9、设a，C：=1，则（ ） A 0 B i C 2ie D icosi10、将单位圆共形映射成单位圆外部的分式线性变换是（ ）A B C D 三、判断题（每小题2分）1、（ ）幂级数在<1内一致收敛2、（ ）z=是函数的可去奇点3、（ ）在柯西积分公式中，如果，即a在之外，其它条件不变，则积分0，4、（ ）函数在的去心邻域内可展成洛朗级数5、（ ）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6分）1、计算积分，C：1+的直线段2、求函数在所有孤立奇点（包括）处的留数3、将函数在的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域满分14得分4、计算积分 , C:，5、计算实积分I= 6、求将单位圆共形映射成单位圆的分式线性变换使符合条件，五、证明题（每小题7分）1、设函数在区域内解析，证明：函数也在内解析2、证明：在解析，且满足的，（）的函数不存在一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分）1 ，2 (k=0,±) ， 3 0， 4 ， 5 9 6 ，7 ， 8 本质， 9 ， 10 二 单选题（每小题2分，共20分）1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 10 A三 判断题（每小题2分，共10分） 1 2 3 4 5 四 计算题（每小题6分，共36分）1解：C的参数方程为： z=i+t, 0 dz=dt 分 = 分2解: 为一阶极点 分 为二阶极点 分 分 分 6分3 解：= 2分 = 5分 （0<<2） 6分4 解：在C内有一个二阶极点0和一个一阶极点 1分 3分 5分所以原式i 6分5 解：令 1分 = 3分被积函数在内的有一个一阶极点 5分 I= 6分6解： 分 所以 分 于是所求变换 分五 证明题（每小题7分，共14分） 1 证明： 设f(z)=u（x，y）+iv（x，y）= u（x，y）-iv（x，y）= v（x，y）-i u（x，y） 分f（z）在D内解析，四个偏导数为 v，v，-u，-u 分 比较f（z）的CR方程 也满足C-R方程且四个偏导数在D内连续 在D内解析 分 2 证明：假设在解析的函数存在且满足，（） 分点列=以为聚点在点列上, 由解析函数的唯一性定理在的邻域内= 分但在这个邻域内又有矛盾在解析的函数不存在 分