阶常系数线性差分方程

10.2 简单的一阶和二阶常系数线性差分方程的解法一、齐次方程的通解二、非齐次方程的特解与通解三、二阶常系数齐次线性差分方程的解法一、齐次方程的通解一阶常系数线性差分方程一般形式为一阶常系数线性差分方程一般形式为)1310(,2,1,0,)(1 nnfayynn,为非零常数为非零常数其中其中a的的对对应应齐齐次次方方程程为为方方程程)1310(,)(为已知函数为已知函数nf)1410(,2,1,0,01 nayynn,2,1,0,1 nayynn这是等比数列所满足的关系式这是等比数列所满足的关系式,由等比数列通项公式由等比数列通项公式可以得到可以得到,2,1,0,)(0 nyaynn)1510(,2,1,0,)(naCyn.为任意常数为任意常数其中其中C方程方程 变形后改写为变形后改写为)1410(从而得到方程从而得到方程 的通解的通解)1410(,)()(.1nPnfm,)(次多项式次多项式为为mnPm)1610()(1 nPayymnn,)(的的形形式式根根据据nf,)()(为特解为特解可设可设nQny,)(为多项式为多项式nQ有有)()()1(nPnaQnQm 二、非齐次方程的特解与通解于是于是,1 a若若要使方程恒等要使方程恒等,则应设则应设mmmmanananany 1110)(则方程则方程 为为)1310(代入方程代入方程 ,)1610(,10为为待待定定系系数数其其中中maaa代入方程后代入方程后,比较同幂次系数比较同幂次系数,可以解代数方程确定待定系数可以解代数方程确定待定系数.,1 a若若要使方程恒等要使方程恒等,则应设则应设.)()(21110nanananannQnymmmmm代入方程代入方程,比较同幂次系数比较同幂次系数,.,10maaa数数可可以以解解出出式式中中的的待待定定系系例例1 1.31的的通通解解求求差差分分方方程程 nyynn解解,1 a因因对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为CCyn1,)(120nanany 设设代入原方程代入原方程,有有3)1()1(120120 nnananana比较系数得比较系数得,25,2110 aa所以所以,2521)(2nnny所给方程通解为所给方程通解为,2521)(2nnCny .为任意常数为任意常数其中其中C例例2 2.12221的通解的通解求差分方程求差分方程 nyynn解解,2 a因因对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为nnCCy2)2(,)(2120ananany 设设代入原方程代入原方程,有有12)()2(22101020naaanaana比较系数得比较系数得,5,4,2210 aaa所以得所以得,542)(2 nnny从而所给方程的通解为从而所给方程的通解为54222 nnCyn.为任意常数为任意常数其中其中C,)(.2nbdnf,)(为为指指数数函函数数即即nf为为)1710(1 nnnbdayy.,为非零常数为非零常数其中其中ba,)(的的形形式式根根据据nf,nkndAny 可设可设,为待定系数为待定系数A代入方程有代入方程有bAanAdnkk)1(于是于是,时时当当da 从而得到从而得到nAdny)(,0,k应应取取要要等等式式恒恒成成立立代入方程代入方程,dabA解解得得这时方程这时方程)1310(nddabny)(,时时当当da ,1,k应取应取要使等式恒成立要使等式恒成立从而得到从而得到nAndny)(,dbA 可可得得,)(nnddbny 代入方程代入方程 ,)1710(于是方程于是方程 的特解为的特解为)1710(于是方程于是方程 的特解为的特解为)1710(综上讨论综上讨论,dadndbCdaddabaCynnnn,)(.为任意常数为任意常数其中其中C于是方程于是方程 的通解可表示为的通解可表示为)1710(例例3 3.423201特特解解的的满满足足初初始始条条件件求求方方程程 yyynnn解解对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为nCy)2(,2nnAy 又又设设代入方程代入方程,有有nnnAA232221 从而解得从而解得.243,43nnyA 所给方程的通解为所给方程的通解为nnnCy243)2(于是所给方程满足条件的特解为于是所给方程满足条件的特解为nnny243)2(413 ,413,40 Cy得得由由.213)1(341nn )2110(,2,1,0,)(1 nnfayynn 求解非齐次线性方程求解非齐次线性方程 的通解，除了利的通解，除了利用线性方程解的结构定理，通过分别求出对应齐次用线性方程解的结构定理，通过分别求出对应齐次方程通解和非齐次方程一个特解的方法实现外，还方程通解和非齐次方程一个特解的方法实现外，还可以直接用迭代法计算，这时将方程可以直接用迭代法计算，这时将方程 改写改写成迭代方程形式成迭代方程形式)1310()1310(则有则有)0(01fayy )1()0()()()1(0212ffayafayy )2()1()()0()()()2(20323ffafayafayy 一般地一般地,由数学归纳法可证由数学归纳法可证)1()2()()1()()0()()(210 nfnfafafayaynnnn,2,1,0),()(0 nnyyan)1()2()()1()()0()()(21 nfnfafafanynn其中其中)2210()1()(10 infanii,)(0为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解yan.,00yCy 可可记记作作为为任任意意常常数数为方程为方程 的特解的特解,)1310(例例4 4.2311的通解的通解求方程求方程nnnyy 解解,)2210(2)(,31 代代入入公公式式将将nnfa有有inininininy 101011612231)(61161121 nn 11312651nn所以，所给方程的通解为所以，所给方程的通解为10()()(1)niiy naf ni 1131265131nnnnCy125631 nnC.53为为任任意意常常数数其其中中 CC三、二阶常系数齐次线性差分方 程的解法二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为210,0,1,2,(1024)nnnyaybyn ,0,bba且且为为已已知知常常数数其其中中)2510(02 ba 特征方程的解称为特征根或特征值特征方程的解称为特征根或特征值.方程方程 称为方程称为方程 的特征方程的特征方程,)2510()2410(1.特征方程有两个相异实根特征方程有两个相异实根,042时时即当判别式即当判别式 ba)2610()(21,)(2121 aa 方程方程 有两个相异实根有两个相异实根)2510(于是方程于是方程 有两个特解有两个特解)2410(根据二次代数方程根据二次代数方程 解的三种情况，可解的三种情况，可以仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方以仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方程程 的通解的通解.)2510(1024)nnnyny2211)(,)(且由且由常数常数 nnyny2121)()(,)()(21线线性性无无关关与与知知nynynnnCCy2211 .,)2610(,2121为为任任意意常常数数给给出出由由其其中中CC 从而得到方程从而得到方程 的通解的通解 )2410(例例1 1.05412的的通通解解求求差差分分方方程程 nnnyyy解解特征方程为特征方程为0542 解得两个相异实根解得两个相异实根,5,121 于是于是,所给方程的通解为所给方程的通解为nCCny)5()(21.,21为为任任意意常常数数其其中中CC2.特征方程有二重根特征方程有二重根,042时时即当判别式即当判别式 ba,2121a nany 21)(1nanny 21)(2于是方程于是方程 有一个特解有一个特解 )2410(方程方程 有二重根有二重根)2510(可验证方程可验证方程 有另一特解有另一特解)2410(且由且由,1)()(21常常数数 nnyny,)()(21线线性性无无关关与与知知nynynnanCCy 21)(21.,21为为任任意意常常数数其其中中CC从而得到方程从而得到方程 的通解的通解)2410(例例2 2.0251012的的通通解解求求方方程程 nnnyyy解解特征方程为特征方程为025102 解得特征根为解得特征根为,)(5 二重二重 于是于是,所给方程的通解为所给方程的通解为nnnCCy5)(21 .,21为为任任意意常常数数其其中中CC3.特征方程有两个共轭复根特征方程有两个共轭复根,042时时即当判别式即当判别式 ba,)i(211 a,)i(212 a 通过直接验证可知通过直接验证可知,cos)(1nrnyn nrnyn sin)(2 其中其中bar 2222方程方程 有两个共轭复根有两个共轭复根)2510(方程方程 有两个特解有两个特解)2410(;),0(,41tan2 aba2,0 时时a.,为复特征根的辐角为复特征根的辐角又称为复特征根的模又称为复特征根的模 r,cot)()(21常常数数又又因因 nnyny,)()(21线线性性无无关关与与知知nyny)sincos()(21nCnCrnyn .,21为为任任意意常常数数其其中中CC)2710(所给方程所给方程 的通解可表示为的通解可表示为)2410(例例3 3.05212的的通通解解求求方方程程 nnnyyy解解特征方程为特征方程为0522 解得特征根解得特征根,i 21,i 2121 因此因此所给方程的通解为所给方程的通解为)sincos()(21nCnCrnyn ,2arctan,5 r其中其中.,21为为任任意意常常数数CC