第五章-矩阵的相似变换和特征值

返回主界面返回主界面 线性代数与空间解析几何电子教案网络版线性代数与空间解析几何电子教案网络版 设设A是是n阶方阵阶方阵,为数为数,为为n维维向量向量.若若A =,则称则称 为为A的的,称称 为为A 的对应于的对应于 的的.2.由由A =得齐次线性方程组得齐次线性方程组(IA)=,它有非零解它有非零解系数行列式系数行列式|IA|=0,这个这个 关于关于 的一元的一元n次方程次方程,称为称为A的的,|IA|称为称为A的的.3 11 3 A),2)(4(3 1 1 3|AI0 0 2121xxxx).R0(1121kkxx).R0(kkk002121xxxx).R0(11 21kkxx).R0(kkk 3 11 3 A),2)(4(3 1 1 3|AI 2 0 1 0 3 40 1 1A 3 1 40 2 0 1 1 2A二二.性质性质 n阶方阵阶方阵A有有n个个不同的特征值不同的特征值,则则A 与对角矩阵相似与对角矩阵相似.n阶方阵阶方阵A,求可逆矩阵求可逆矩阵P,使使T)(A.)(11 AA,xxAxxAxA .)()(TTTTTTxxxxxxAxAxAxx .)()(TTTTxxxxAxxAxx .0)(T xx .0|112T niniiiixxxxx,0 事实上事实上,1 p1T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA,设设 1,2是实对称矩阵是实对称矩阵A的两个不同的两个不同 的特征值的特征值,p1,p2是对应与它们的是对应与它们的特特 征向量征向量,则则p1与与p2正交正交.于是于是(1 2)p1Tp2=0,但是但是 1 2,故故p1Tp2=0.从而从而 1p1Tp2=p1TAp2=p1T(2p2)=2p1Tp2.对于任意对于任意n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A,存在正存在正 交矩阵交矩阵Q,使得使得 Q 1AQ=diag(1,2,n),其中其中 1,2,n为为A的全部特征值的全部特征值,Q=q1,q2,qn的列向量组是的列向量组是A 的的对应于对应于 1,2,n的标准正交的标准正交特特 征向量征向量.设设 是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的的r重特征值重特征值,则则 对应于对应于 恰有恰有r个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.3 1 01 3 00 0 4A,2/1 0 2/12/1 0 2/1 0 1 0 Q.4 0 00 4 00 0 2T1 AQQAQQ;1 1 232111311 1 1|,2222332 .6/1 3/1 2/16/1 3/1 2/1 6/2 3/1 0 ),(321 qqqQ 3/23/13/23/23/23/13/13/23/2 3/23/13/23/23/23/13/13/23/2 1000010001 542452222