平面应力问题和平面应变问题

对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。因此，它们的应力分量x，Cy和Txy也相同，应力分量Txz和Tyz均等于零，所不同的是z向应力分量c，应变s了和位移分量w。了下表列出了两种平面问题的主要差别。平面应变问题平面应力问题z向应力分量C=V(CC)z'x+y/cz=0z向位移分量w=0wHO正应变分量耳二+【6一卩（£+耳）亏二号巧一“（6+耳）6二右(68$)1=土©_5)6=E6+S)上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。返回虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题，变形协调方程除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求这要求ez为x，y的线性函数，因此ez=ax+by+c,但平面应力问题又要求。这要求sx+sy满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。由于平面应力问题efQ这使得问题的求解困难相对。为了简化分析，对于薄板问题，e很小，可以认为e近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将讨论其误差。假如重新假定应力分量s，s，t是x，y，z的函数，应力分量s，t和t仍然等于零，则可以选取新的应力函数xyxyzxzyz=厲(荃刃一2仁ft求解平面应力问题。如果上式中函数诃f(x,y)为双调和函数，则应力函数Y(x,y,z)完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。一于厲显然，新的应力函数Y(x，y，z)与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项'(I®的影响。根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。由于平面应力问题讨论的板厚很小，补充项含有z的平方项,因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。对于薄板问题，一般来讲，此项影响很小，因此可以忽略不计。