分离常数法和分离参数法的应用

分离常数法与分离参数法的应用娄底二中康惠如一):分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有ax+b,ax2+bx+c.max+n,msinx+ny=；y=；y=；y=等cx+dmx2+nx+ppax+qpsinx+q等。解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1)用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数f(x)=3x+1x2(xJ1)的值域解：由已知有f(x)=3r(x2)+2+1x23(x弓+7=3+厶x2x2x2<1o所以1<<0。故函数f(x)的值域为y：4<x<3.2)用分离常数法判断分式+函数的单调性例2：已知函数f(x)=无干万(a丰b)，判断函数f(x)的单调性。(x+b)+ab_ab71n解：由已知有f(x)=讦万=1+无干万，x丰b所以，当a一b>0时，函数f(x)在(8，b)和(b，+8)上是减函数；当a-bv0时，函数f(x)在(8，一b)和(一b，+8)上是增函数。3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)=x2+7x+10x+1的最小值。解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)=(x+1)12+7(x+1)1+10x+1(x+C+5(;+1)+4=(x+1)+5=(x+1)+5当且仅当，x+1=吕，即x+1x+1x+1x+1x=1时，等号成立。所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。分离参数法在解决不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数的单调性中参数的取值范围问题时经常用到。解题的关键是分离出参数后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。1.用分离参数法解决函数有零点的问题例4：已知函数g(x)=x2-ax+4，在b,4上有零点，求a的取值范围解：因为函数g(x)=x2-ax+4在2,4上有零点，所以方程x2-ax+4=0在(2,4上有实根，即方程a二x+4在2,4上有实根，令f(x)二x+-，则a的取值范围等价于函数xxf(x)在2,4上的值域。又f'(x)二1-二°+刃(x-刃>0在2,4上恒成立，所以f(x)在2,4上是增函数。x2x2所以f(2)<f(x)<f(4),即4<f(x)<5所以4<a<52.用分离参数法解决不等式恒成立问题例5已知不等式mx2-2x-m+1<0对满足-2<m<2的所有m都成立，求x的取值范围。解：原不等式可以化为(x2-1)m-2x+1<0，此不等式对-2<m<2恒成立。构造函数f(m)二(x2-1)m-2x+1，-2<m<2，其图像是一条线段。于是有f(-2)=-2(x2-1)-2x+1<0,和f(2)二2(x21)2x+1<0即IIII且2x2一2x一1<°，解得-1丁7<x<23用分离参数法解决函数的单调性问题例6已知f(x)二2x2+fx一2a在h,+a)上是单调增函数，求a的取值范围。2x解：由f(x)二x一a+a所以f'(x)二1+4又f(x)在11,+8)上是增函数，所以f'(x)>0,x2x2于是可得不等式a>-x2，对于x>1，恒成立。所以a>(-x2),由x>1得-x2<-1max所以a>-14.用分离参数法解决不等式有解的问题例7：如果关于x的不等式。丨x-3丨+Ix-4I-2a+l<0的解集不是空集，求参数a的范围。解：原不等式可转化为丨x-3I+Ix-4I<2a-1.又原不等式的解集不是空集，所以(Ix-3I+Ix-4I)的最小值小于2aT.又Ix-3I+Ix-4I>I(x-3)-(x-4)I=1.且当(x-3)(x-4)<0时取等号，所以2a-l>l,即a>l。