08第八章 量子力学基础

第八章 量子力学基础8.1在一维势箱问题求解中，假定在箱内VC丰0(C为常数)，是否对其解产生影响?怎样影响？解：当"O Ch °时，一维势箱粒子的Schrodinger方程为-巴 d2屮 G) + C(x)=砂(x)2m d x2-巴业=(E-C h(x)» 巴业=E '屮(x)2m d x22m d x2边界条件不变，因此Schrodinger方程的解为E = n 2 力2n 8ma2(x 以 2 W sin屮n即"(X)-Ch °不影响波函数，能级整体改变c：E 二 E'+ C 二 n 2 力2 ； 8ma 2 + C8.2 一质量为m,在一维势箱° < x < a中运动的粒子，其量子态为°.5sin x + °.866sin xa丿1)( 1 )2)( 2 )3)( 3 )屮该量子态是否为能量算符HH的本征态?对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何?处于该量子态粒子能量的平均值为多少?解：对波函数的分析可知V (x)- °.5V (x) + °.866V (x)13 -二屮(x), HHV (x)=聖匕V (x) 8ma 2 138ma 2 3HH屮(x )=11) ( 1) 由于HH屮(x)-O.5HH屮(x)+ 0.866HH屮(x)13-05 °.5 XV (x)+ °.866XV (x)h 砌(x)8ma218ma23因此，V (x)不是能量算符HH的本征态。(2) (2)由于“ G )是能量本征态“ 1 G )和“ 3。)的线性组合，而且是归一化的,因此能量测量的可能值为E = h2 e = 9h218ma2'38ma2其出现的概率分别为0.52 二 0.25, 0.8662 二 0.753) (3) 能量测量的平均值为:'E： = 0.25E + 0.75E =(0.25 + 0.75 x 9 )- = 21_138 ma 28 ma 28.31 g重的小球在1 cm长的盒内，试计算当它的能量等于在300 K下的kT时其量子数n。这一结果说明了什么？ k和T分别为波尔兹曼常数和热力学温度。解：一维势箱粒子的能级公式为n2h2mkTE = n n =a =a8ma2J8 x 10一3 x 300 x 1.3807 x 10一 2386.6261x10-34n =x10-2 = 8.688 x1019量子化效应不明显。8.4在质量为m的单原子组成的晶体中，每个原子可看作在所有其他原子组成的球对称势场 V("= tfr2中振动，式中r2 = X2 + y2 + Z2。该模型称为三维各向同性谐振子模型，请给出其能级的表达式。解：该振子的 Hamiltonian 算符为H =-空邑 + 亘 + 亘+1 f (x 2 + y 2 + z 2) 2m I dx2 dy2 dz2 I 2I力 2 a 21| 力 2 a 21|力 2 a 21| 2m ax22 J | 2m Qy22 J | 2m Qz22=H + H + Hxyz八八八1 )hV1)hV1)£ =v+ +v+ +v+ (x2 Jx(y2 JyV z2丿律，该振子的能即为个独立振子能级之和：hz即H为三个独立谐振子Hamiltonian算符Hx, Hy, Hz 之和，根据量子力学基本定式中V 二V 二V 二V 二xyz为经典基频，所以(3 8 = V + V + v + HvJ xYz2 丿