微积分上册习题

（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念一、主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数1 1、函数的定义、函数的定义记记作作的的函函数数，是是对对应应，则则称称则则总总有有确确定定的的数数值值和和它它按按照照一一定定法法，变变量量集集如如果果对对于于每每个个数数是是一一个个给给定定的的数数是是两两个个变变量量，和和设设定定义义)(xfyxyyDxDyx 叫叫做做因因变变量量叫叫做做自自变变量量，叫叫做做这这个个函函数数的的定定义义域域数数集集yxD.),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 函数的分类函数的分类函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)(1)单值性与多值性单值性与多值性:若若对对于于每每一一个个Dx,仅仅有有一一个个值值)(xfy 与与之之对对应应,则则称称)(xf为为单单值值函函数数,否否则则就就是是多多值值函函数数.xyoxey xyo1)1(22 yx2 2、函数的性质、函数的性质(2)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD ;)()()(为为偶偶函函数数称称xfxfxf ;)()()(为为奇奇函函数数称称xfxfxf yxoxyoxy 3xy (3)函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。1x2x21xx)()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy ;0时为减函数时为减函数当当 x;0时为增函数时为增函数当当 x.)(,)(,0,否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数成成立立有有若若XxfMxfXxMDX (4)函数的有界性函数的有界性:;),0()0,(上上无无界界及及在在 .),11,(上上有有界界及及在在 xyoxy1 11 设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的，如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x)的的周期周期.（通（通常说周期函数的周期是指其最小正常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.Dx Dlx )(5)函数的周期性函数的周期性:oyx11xxy 1 T3 3、反函数、反函数.)()(1称称为为反反函函数数确确定定的的由由xfyxfy 0 yexy如如4 4、隐函数、隐函数.)(0),(称为隐函数称为隐函数所确定的函数所确定的函数由方程由方程xfyyxF xysinh)(1xfy sinhar x)(xfy xyo),(xxf)(,(xfx)(1xfy 5、反函数与直接函数之间的关系则则函数函数是一一对应是一一对应设函数设函数,)(xf fDxxxffxff )()(111 .)()(21xyxfyxfy 图象对称于直线图象对称于直线的的与与6 6、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数)(是常数是常数 xy2）指数函数）指数函数)1,0(aaayx3）对数函数）对数函数)1,0(log aaxya4）三角函数）三角函数;cosxy ;sin xy 5）反三角函数）反三角函数;arccos xy ;arcsin xy ;cot xy ;tan xy ;arctan xy ycotarcx7 7、复合函数、复合函数设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD,而函数而函数)(xu 的 值 域 为的 值 域 为 Z,若若 ZDf,则 称 函 数则 称 函 数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数.8 8、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.9 9、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数2sinhxxeex 双双曲曲正正弦弦2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦xxxxeeeexxx coshsinhtanh双双曲曲正正切切双曲函数常用公式双曲函数常用公式;sinh xy 反双曲正弦反双曲正弦ar;tan xy 反反双双曲曲正正切切ar;cosh xy 反双曲余弦反双曲余弦ar;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx ;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx 左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx)(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么不论它多么小小),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx,不不等式等式 axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).(naxn.,0,0 axNnNn恒恒有有时时使使1 1、极限的定义、极限的定义定定义义N 定定义义 2 2 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数(不不论论它它多多么么小小),总总存存在在正正数数,使使得得对对于于适适合合不不等等式式 00 xx的的一一切切x,对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Axf)(,那那末末常常数数A就就叫叫函函数数)(xf当当0 xx 时时的的极极限限,记记作作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或定定义义 .)(,0,0,00 Axfxx恒恒有有时时使使当当左极限左极限.)(,0,000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(,0,000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记记作作绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记记作作在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.准则准则 如果当如果当),(00rxUx(或或Mx )时时,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.(夹逼准则夹逼准则)(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim;1sinlim 某某过过程程.)1(lim1e 某过程某过程6 6、两个重要极限、两个重要极限);(,0lim)1(o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果定义定义:.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;,1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地7 7、无穷小的比较、无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim,则则存存在在且且设设.),0,0(lim)3(无无穷穷小小阶阶的的是是是是就就说说如如果果kkCCk 定定理理 若若)(limxf存存在在,则则极极限限唯唯一一.8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质9、极限的唯一性、极限的唯一性左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类定义定义1 1 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,如果当自变量的增量如果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时,对应的函数对应的函数的增量的增量y 也趋向于零也趋向于零,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续,0 x称为称为)(xf的连的连续点续点.1 1、连续的定义、连续的定义).()(lim200 xfxfxx 定义定义定理定理.)()(00既既左左连连续续又又右右连连续续处处在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 3 3、连续的充要条件、连续的充要条件2 2、单侧连续、单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf :)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf4 4、间断点的定义、间断点的定义(1)跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf (2)可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5 5、间断点的分类、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:.,0右极限都存在右极限都存在处的左处的左函数在点函数在点x可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0 x0yx0 x0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0yx0 x第二类间断点第二类间断点.)(,)(00类间断点类间断点的第二的第二为函数为函数则称点则称点至少有一个不存在至少有一个不存在右极限右极限处的左处的左在点在点如果如果xfxxxf.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 6 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则则有有连连续续在在点点函函数数若若8 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.定理定理 3(3(零点定理零点定理)设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号(即即0)()(bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点,即至少有一点即至少有一点)(ba ，使，使0)(f.定理定理2(2(有界性定理有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界.推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理)设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上上连续，且在这区间的端点取不同的函数值连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf)(及及 Bbf)(,那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点，使得，使得cf )()(ba .二、典型例题二、典型例题例例1 1.)16(log2)1(的定义域的定义域求函数求函数xyx 解解,0162 x,01 x,11 x 214xxx,4221 xx及及).4,2()2,1(即即例例2 2).(.1,0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其其中中设设 解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性,1xxt 令令,11tx 即即代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即 xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(解联立方程组解联立方程组.1111)(xxxxf例例3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求时时当当解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x),则则xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn时时当当例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法讨论解法讨论则则设设,)(lim,0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式例例5 5).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多项式是多项式设设 解解,2)(lim23 xxxpx),(2)(23为为待待定定系系数数其其中中可可设设babaxxxxp ,1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp.1,0 ab从从而而得得xxxxp 232)(故故例例6 6.1,2cos1,1)(的的连连续续性性讨讨论论 xxxxxf 解解改改写写成成将将)(xf 1,111,2cos1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()(内连续内连续在在显然显然 xf,1时时当当 x )(lim1xfx )1(lim1xx.2 )(lim1xfx 2coslim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(间间断断在在故故 xxf,1时时当当 x )(lim1xfx 2coslim1xx.0 )(lim1xfx )1(lim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(连连续续在在故故 xxf.),1()1,()(连连续续在在 xf例例7 7).()21(1,0),1()0(,1,0)(ffffxf 使使得得证证明明必必有有一一点点且且上上连连续续在在闭闭区区间间设设证明证明),()21()(xfxfxF 令令.21,0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论:,0)0(F若若,0 则则);0()210(ff ,0)21(F若若,21 则则);21()2121(ff 则则若若,0)21(,0)0(FF )21()0(FF2)0()21(ff .0 由零点定理知由零点定理知,.0)(),21,0(F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上综上,1,021,0 必有一点必有一点.)()21(成成立立使使 ff 一、一、选择题：选择题：1 1函数函数21arccos1 xxy的定义域是的定义域是（）(A)(A)1 x；(B)(B)13 x；(C)(C)1,3(；(D)(D)131 xxxx.2.2.函数函数 30,104,3)(2xxxxxf的定义域是的定义域是（）(A)(A)04 x；(B)(B)30 x;(C)(C)3,4(;(D)(D)3004 xxxx.测测 验验 题题3 3、函函数数xxxysincos 是是（）(A A)偶偶函函数数；(B B)奇奇函函数数；(C C)非非奇奇非非偶偶函函数数；(D D)奇奇偶偶函函数数.4 4、函函数数xxf2cos1)(的的最最小小正正周周期期是是（）(A A)2 2；(B B)；(C C)4 4 ；(D D)21 .5 5、函函数数21)(xxxf 在在定定义义域域为为（）(A A)有有上上界界无无下下界界；(B B)有有下下界界无无上上界界；(C C)有有界界，且且 2121)(xf ；(D D)有有界界，且且 2122 xx .6 6、与、与2)(xxf 等价的函数是等价的函数是（）(A)(A)x；(B)(B)2)(x；(C)(C)33)(x；(D)(D)x .7 7、当、当0 x时，下列函数哪一个是其它三个的高阶时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小无穷小（）（A A）2x；（B B）xcos1；（C C）xxtan；（D D）)1ln(x.8 8、设设,0,00 ba则则当当（）时时有有 00110110.limbabxbxbaxaxannnmmmx .(A A)nm ；(B B)nm ；(C C)nm ；(D D)nm,任任意意取取 .二二、求求下下列列函函数数的的定定义义域域：9 9、设设 10,01,1)(xxxxxf则则)(lim0 xfx()(A A)-1 1 ；(B B)1 1 ；(C C)0 0 ；(D D)不不存存在在 .1 10 0、xxx0lim（）(A A)1 1；(B B)-1 1；(C C)0 0；(D D)不不存存在在.;arctan)12sin(1xxy 、2 2、12)9lg()(2 xxx .三、三、设设132)1(2 xxxg（1 1）试确定试确定cba,的值使的值使 cxbxaxg )1()1()1(2 ；（2 2）求求)1(xg的表达式的表达式 .四、四、求求xxxfsgn)1()(2 的反函数的反函数)(1xf.五五、求求极极限限：1 1、22)1(12limnnnn ；2 2、321lim3 xxx ；3 3、xxx20)1(lim ；4 4、)1(lim1 xxex ；5 5、当、当0 x时，时，nnxxx2cos.4cos2coslim ；6 6、121sinlim22 xxxx.六、六、设有函数设有函数 1,1)1(1,sin)(xxaxaxxf试确定试确定a的的值使值使)(xf在在1 x连续连续.七七、讨讨论论函函数数xxxxf2sin11arctan)(的的连连续续性性，并并判判断断其其间间断断点点的的类类型型 .八八、证证明明奇奇次次多多项项式式：1221120)(nnnaxaxaxP)0(0 a至至少少存存 在在一一个个实实根根 .一、一、1 1、B B；2 2、D D；3 3、B B；4 4、C C；5 5、C C；6 6、D D；7 7、C C；8 8、B B；9 9、D D；10 10、D D；二、二、1 1、);,(2 2、4,5.4,5.三、三、352)1(,0,1,22 xxxgcba.四、四、1,)1(0,01,1)(1xxxxxxf.五、五、1 1、2 2；2 2、41；3 3、2e；4 4、1 1；5 5、xxsin；6 6、22.测验题答案测验题答案六六、ka22 ),2,1,0(k七七、0 x可可去去间间断断点点,1 x跳跳跃跃间间断断点点,),2,1(2 nnx无无穷穷间间断断点点,x为为其其它它实实数数时时)(xf连连续续.