学案7对数函数

对对数数函函数数(1)(1)理解对数的概念及其运算性质理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用了解对数在简化运算中的作用.(2)(2)理解对数函数的概念及其单调性理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊掌握对数函数图象通过的特殊点点,会画底数为会画底数为2,10,2,10,的对数函数的图象的对数函数的图象.(3)(3)体会对数函数是一类重要的函数模型体会对数函数是一类重要的函数模型.(4)(4)了解指数函数了解指数函数y=ay=ax x(a(a0,0,且且a1)a1)与对数函数与对数函数y=logax(ay=logax(a0,0,且且a1)a1)互为反函数互为反函数.21 1.对数及对数函数是中学阶段最基本的知识点之一对数及对数函数是中学阶段最基本的知识点之一,也也是高考的必考内容之一是高考的必考内容之一,高考中重点考查定义、图象和性质，高考中重点考查定义、图象和性质，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力力.2.高考中以选择、填空的形式考查对数、对数函数的高考中以选择、填空的形式考查对数、对数函数的图象与性质，同时也以知识综合性较强的解答题形式出现，图象与性质，同时也以知识综合性较强的解答题形式出现，与导数结合考查单调性、极值、最值及某些参数的范围问与导数结合考查单调性、极值、最值及某些参数的范围问题题.1.对数的概念(1)对数的定义对数的定义一般地一般地,如果如果ax=N(a0,且且a1),那么数那么数x叫做以叫做以a为底为底N的对数的对数,记作记作 ,其中其中 叫做对数的叫做对数的底数底数,叫做真数叫做真数.(2)几种常见对数几种常见对数x=logaN a N 对数形式对数形式特点特点记法记法一般对数一般对数底数为底数为a(aa(a0,0,且且a1)a1)常用对数常用对数底数为底数为 自然对数自然对数底数为底数为logaN 10 lgN e lgN 2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质对数的性质 =;=(a0,且且a1).N Nl lo og ga aa aNaa al lo og gN N (2)对数的重要公式对数的重要公式换底公式换底公式:(a,b均大于零且不等于均大于零且不等于1);logab=,推广推广logablogbclogcd=.(2)对数的运算法则对数的运算法则如果如果a0,且且a1,M0,N0,那么那么:loga(MN)=;=;=(nR);.nlogaM a aloglogb b1N NM Mlogloga an na aM MloglogM Mloglogm mn nM Mlogloga an na am m b bloglogN NloglogN Nlogloga aa ab b d dlogloga a N NloglogM Mlogloga aa a N NloglogM Mlogloga aa a3.对数函数的图象与性质a1a10a10a1x1时时,当当0 x10 x1x1时时,当当0 x10 x0y0y0增函数增函数 减函数减函数 4.反函数指数函数指数函数y=ax与对数函数与对数函数 互为反函数互为反函数,它它们的图象关于直线们的图象关于直线 对称对称.y=x y=logax 求下列各式的值：求下列各式的值：（1）;（2）（）（lg5)2+2lg2-（lg2)2.245lg8lg344932lg21【分析【分析】利用对数的运算性质求值利用对数的运算性质求值【解析【解析】（1)原式原式 （2)原式（原式（lg5+lg2）（）（lg5-lg2)+2lg2=lg5-lg2+2lg2=lg5+lg2=1.57lg328lg724lg2110lg457724lg 计算下列各式的值计算下列各式的值:lg40lg50lg8lg5lg2)1(7)33(4log327log)2(272log3210log215431 1+2 2lglg)2 2(lg(lg+5 5lglg 2 2lglg+)2 2(lg(lg2 2)3 3(2 22 2(2)原式原式=1.1.4 45 5lglg4 45 5lglg40405050lglg8 85 52 2lglg(1)原式原式=.4 41 1-=5 5l lo og g)1 14 43 3(=2 2)-3 3-(1 10 03 3)l lo og gl lo og g-3 3l lo og g4 43 3(=7 7-)(3 3-2 2l lo og g5 53 33 3l lo og g5 55 53 33 32 2l lo og g3 32 22 23 31 10 0l lo og g4 43 33 37 72 2(3)原式原式1.1.=2 2lglg-1 1+5)5)lg(2lg(22 2lglg=|1 1-2 2lglg|+lg5)lg5)+(lg2(lg22 2lglg=1 1+2 22lg2lg-)2 2(lg(lg+lg5)lg5)+2 2(2lg(2lg2 2lglg=2 2已知函数已知函数f(x)=|lgx|,若若0ab,且且f(a)=f(b),则则a+2b的取值范的取值范围是围是 ()A.(2 ,+)B.2 ,+)C.(3,+)D.3,+)22【分析【分析】可利用数形结合画出函数可利用数形结合画出函数f(x)的图象的图象,解出解出a与与b的关系变为一元函数求取值范围的关系变为一元函数求取值范围.【解析【解析】如图如图,图作出图作出f(x)=|lgx|的大致图象的大致图象,由由f(a)=f(b)知知|lga|=|lgb|,lga+lgb=0,ab=1.b=.a+2b=a+.由题意知由题意知0a1+=3,即即a+2b3.故应选故应选C.a1a2a2a212本题考查函数图象及函数最值本题考查函数图象及函数最值,属中档难度题属中档难度题.已知不等式已知不等式logaxlogbx0logcx,则则 （）A.0c1baB.0ba1cC.0c1ab或或0ab1cD.0c1ab或或0ba11时，三个函数的图象关系如图（时，三个函数的图象关系如图（1）所）所示，此时有示，此时有0c1ab.若若0 x1时，则三个函数的图象关系如图（时，则三个函数的图象关系如图（2）所示，此）所示，此时有时有0ba10,a1),如果对于任意如果对于任意x3,+)都有都有|f(x)|1成立成立,试求试求a的取值范围的取值范围.当当x3,+)时时,必有必有|f(x)|1成立成立,可可以理解为函数以理解为函数|f(x)|在区间在区间3,+)上的最小值不小上的最小值不小于于1.当当a1时时,对于任意对于任意x3,+),都有都有f(x)0.|f(x)|=f(x),而而f(x)=logax在在3,+)上为增函数上为增函数,对于任意对于任意x3,+),有有f(x)loga3.因此因此,要使要使|f(x)|1对于任意对于任意x3,+)都成立都成立.只要只要loga31=logaa即可即可,1a3.当当0a1时时,对于对于x3,+),有有f(x)0,|f(x)|=-f(x).f(x)=logax在在3,+)上为减函数上为减函数,-f(x)在在3,+)上为增函数上为增函数.对于任意对于任意x3,+)都有都有|f(x)|=-f(x)-loga3.因此因此,要使要使|f(x)|1对于任意对于任意x3,+)都成立都成立,只要只要-loga31成立即可成立即可,loga3-1=loga ,即即 3,a1,在区间在区间(-,1-上是减函数上是减函数,g(x)=x2-ax-a在区间在区间(-,1-上也是单调减函上也是单调减函数数,且且g(x)0.1-a2-2 g(1-)0,(1-)2-a(1-)-a0,解得解得2-2 a2.故故a的取值范围是的取值范围是a|2-2 a .2141【分析【分析】由条件由条件f(x+1)=f(x-1)得出函数得出函数f(x)是以是以2为周期为周期的周期函数的周期函数,这个条件是求各问的关键这个条件是求各问的关键.【解析【解析】（1）f(x+1)=f(x-1),且且f(x)是是R上的偶函数，上的偶函数，f(x+2)=f(x)=loga(2+x),x-1,0 loga(2-x),x0,1.(2)当当x2k-1,2k时，时，f(x)=f(x-2k)=loga(2+x-2k),同理，当同理，当x2k,2k+1时，时，f(x)=loga(2-x+2k).f(x)=loga(2+x-2k),x2k-1,2k loga(2-x+2k),x2k,2k+1(kZ).(3)由于函数以由于函数以2为周期为周期,故考查区间故考查区间-1,1.若若a1,loga2=,即即a=4.若若0a0，且，且a1,u=2-ax在在0,1上是关于上是关于x的减函数的减函数.又又f(x)=loga(2-ax)在在0,1上是关于上是关于x的减函数，的减函数，函数函数y=logau是关于是关于u的增函数，且对的增函数，且对x0,1时，时，u=2-ax恒为正数恒为正数.其充要条件是其充要条件是 ，即，即 1abc B.bacC.acb D.cab4.3log256.3log453.0log351由于对数函数由于对数函数y=logax的图象和性质与底数的图象和性质与底数a的取值范的取值范围密切相关围密切相关.当当a1时，函数时，函数y=logax在定义域内为单调在定义域内为单调增函数，当增函数，当0a1时，函数时，函数y=logax在定义域内为单调在定义域内为单调减函数，因此当题目条件中所给的对数函数的底数含减函数，因此当题目条件中所给的对数函数的底数含有参数时，常以底数的取值范围为分类标准进行分类有参数时，常以底数的取值范围为分类标准进行分类讨论求解讨论求解.