实验十二矩阵的秩和向量组的最大线性无关组

1实验十二学习目标l矩阵秩的求法l把矩阵化为初等行矩阵l向量组的秩和最大线性无关组l求齐次线性方程组AX=0的基础解系l求非齐次线性方程组AX=b的一个特解212.1 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩的命令矩阵的秩的命令:rank(A)例例1 已知已知M=求求M矩阵的秩矩阵的秩.M=3 2-1-3-2;2-1 3 1-3;7 0 5-1-8;rank(M)ans=2321322131370518例已知矩阵例已知矩阵M的秩为，求的秩为，求常数常数t的值的值syms tM=3 2-1-3;2-1 3 1;7 0 t-1;det(M(1:3,1:3)；%提出矩阵提出矩阵M中的前三行前三列中的前三行前三列输出结果输出结果-7*t+35，令，令-7*t+35=0所以所以t=5注意：因为远矩阵的秩为所以所有高于阶的子注意：因为远矩阵的秩为所以所有高于阶的子式全为，所以这里取的三阶子式为可解出式全为，所以这里取的三阶子式为可解出32132131701t12.矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换命令为矩阵的初等行变换命令为:rref(A)例已知例已知A=，证明，证明A可逆，并用初等行变换可逆，并用初等行变换求求A的逆的逆A=1 2 3;2 2 1;3 4 3;E=eye(3);AE=A,EM=rref(AE)invA=M(:,4,5,6)1232213431.向量组的秩和最大线性无关组向量组的秩和最大线性无关组例例4、求向量组、求向量组a=(1 2-1 1),b=(0-4 5-2),c=(2 0 3 0)的秩并判断是否线性相关？的秩并判断是否线性相关？A=1 2-1 1;0-4 5-2;2 0 3 0;rref(A)ans=1.0000 0 1.5000 0 0 0 0 0所以得到秩为（非零的行数）所以得到秩为（非零的行数）线性相关线性相关注意：向量组的秩小于向量组中向量的个数所以线注意：向量组的秩小于向量组中向量的个数所以线性相关；若向量组的秩等于向量组中向量的个数性相关；若向量组的秩等于向量组中向量的个数则线性无关则线性无关例求向量组例求向量组a=(1-1 2 4),b=(0 3 1 2),c=(3 0 7 14),d=(1-1 2 0)e=(2 1 5 0)的最大线性无关组的最大线性无关组.A=(1-1 2 4;0 3 1 2;3 0 7 14;1-1 2 0;2 1 5 0;B=transpose(A);reff(B)ans=1.0000 0 3.0000 0 -0.5000 0 1.0000 0 1.0000 0 0 0 1.0000 2.5000 0 0 0 0 0则可以从列中看出则可以从列中看出a,b d为最大线性无关组为最大线性无关组注意：若要判断两个矩阵是否等价，只需要把两个矩阵注意：若要判断两个矩阵是否等价，只需要把两个矩阵 利用初等行变换命令利用初等行变换命令reff都化为最简标准型，若最后都化为最简标准型，若最后 的标准型相同则等价，否则不等价的标准型相同则等价，否则不等价(P114例例9)71.4求齐次线性方程组求齐次线性方程组AX=0的基础解系的基础解系求齐次线性方程组求齐次线性方程组AX=0的基础解系命令为的基础解系命令为:null(A)例例6,求解线性方程组求解线性方程组clearA=1 1-2-1;3-2-2 2;0 5 7 3;2-3-5-1;D=det(A);X=null(A)注意：若系数矩阵的秩小于未知数个数，则基础解系存在且注意：若系数矩阵的秩小于未知数个数，则基础解系存在且有无穷多解：若系数矩阵的秩等于未知数个数，则基础解有无穷多解：若系数矩阵的秩等于未知数个数，则基础解系不存在只有零解系不存在只有零解123412341231234203222057302350 xxxxxxxxxxxxxxx8输出结果输出结果D=0X=注意；此时注意；此时X为基础解为基础解系，并且基础解系中只系，并且基础解系中只有一个解向量有一个解向量而且而且X不但为基础解系不但为基础解系，并且为标准正交基（，并且为标准正交基（即正交化，标准化）即正交化，标准化）程序二程序二clearA=1 1-2-1;3-2-1 2;0 5 7 3;2-3-5-1;D=det(A);A=sym(A);X=null(A)输出结果输出结果X=1-1/2 1-3/2注意；此时注意；此时X为基础解系，但不为为基础解系，但不为标准正交基标准正交基12.5 非齐次线性方程组的特解非齐次线性方程组的特解 非齐次线性方程组中若非齐次线性方程组中若系数矩阵系数矩阵r(A)和增和增广矩阵广矩阵r(A,b)的秩相等，方程组有解，并的秩相等，方程组有解，并且若且若r(A)=r(A,b)n则则非齐次线性方程组非齐次线性方程组无穷多解无穷多解r(A)=r(A,b)n则则非齐次线性非齐次线性方程组有唯一的解；齐次线性方程组中若方程组有唯一的解；齐次线性方程组中若系数矩阵系数矩阵r(A)和增广矩阵和增广矩阵r(A,b)的秩不相的秩不相等，方程组有无解等，方程组有无解（n为未知数的个数）为未知数的个数）10例求解线性方程组例求解线性方程组clearA=1 1-2-1;3-2-1 2;0 5 7 3;2-3-5-1;D=det(A)b=transpose(4,2,-2,4);rank(A)；rank(A,b)123412341231234243222257322354xxxxxxxxxxxxxxx 输出结果输出结果ans=3ans=3说明系数矩阵和增广矩阵的秩相等都为，所以方程组有说明系数矩阵和增广矩阵的秩相等都为，所以方程组有解继续编程求解解继续编程求解format rat%format是格式化命令，表示以有理格式输出是格式化命令，表示以有理格式输出rref(A,b)输出结果输出结果1 0 0 2/3 1 0 1 0 -1/3 1 0 0 1 2/3 -1 0 0 0 0 0 说明原非齐次线性方程组化为说明原非齐次线性方程组化为说明为自由未知量，说明为自由未知量，所以令所以令这样解锝原非齐次线性方程组的一个特解为这样解锝原非齐次线性方程组的一个特解为注意：在以上的版本中，可以用注意：在以上的版本中，可以用linsolve(A,b)求非求非齐次线性方程组的一个特解齐次线性方程组的一个特解123412341234123420013100132001300000 xxxxxxxxxxxxxxxx 4x40 x 12341,1,1,0 xxxx 小结，作业小结，作业本节掌握的知识点本节掌握的知识点矩阵秩的求法把矩阵化为初等行矩阵向量组的秩和最大线性无关组求齐次线性方程组AX=0的基础解系求非齐次线性方程组AX=b的一个特解作业：作业：P145页页1,P155页页2，