习题1协方差传播律

例例1：设有观测向量：设有观测向量 ，其协方差阵为，其协方差阵为试分别求下列函数的方差：试分别求下列函数的方差：（1）（2）1233,1TLLLL612141212LLD 112332FLLL1222123FLLL解析解析：（：（1）化为矩阵形式：）化为矩阵形式：协方差传播律：协方差传播律：21161211 321413402122FFDTKKLLD1123132LFLL22211221312361221211411221212F FFLDLLL1112221123313231122122dLdFLdLdLL dLLLdLdL（2）线性化：）线性化：运用协方差传播律：运用协方差传播律：1121221113331244442LLL LLL例例1：设有观测向量：设有观测向量 ，其协方差阵为，其协方差阵为试分别求下列函数的方差：试分别求下列函数的方差：（1）（2）1233,1TLLLL612141212LLD 112332FLLL1222123FLLL例例2：下列各式中的：下列各式中的 均为等精度独立观测值，其中误差为均为等精度独立观测值，其中误差为 ，试求，试求 的的中误差：中误差：（1）（2）1,2,3iL i 12312XLLL123L LXLX解析：分析题意，提取有用信息：解析：分析题意，提取有用信息：等精度独立观测值等精度独立观测值观测值的协方差阵观测值的协方差阵222000000LLD22222221122332222113442XXXDkkk（1）中误差传播律：）中误差传播律：32X 123lnlnlnlnXLLL（2）线性化，先取对数：）线性化，先取对数：再求全微分：再求全微分：222222222112224333XLLL LLLL21121232333LLL LdXdLdLdLLLL22222223131223XL LL LL LL 线线性性化化时时先先取取对对数数可可简简化化运运算算例例3：设有观测值向量：设有观测值向量 ，其协方差阵为，其协方差阵为现有函数现有函数 ，试求函数的方差，试求函数的方差 ，和互协方差和互协方差1233,1TLLLL301041112LLD112L L2132LL1D1 2D 2D解析：线性化：解析：线性化：11211221230dLdL dLLdLLLdLdL2221211213010041341120LDLLLLL协方差传播律：协方差传播律：21212130120041071121DLLLL 230122010410181121D111213212223313233000000000000TTTWWADDDDBDDDCDABDDC例例4：已知观测值向量：已知观测值向量 ，和和 及其协方差阵为及其协方差阵为 现组成函数现组成函数式中，式中，为系数阵，为系数阵，为常数阵。令为常数阵。令 ，试求协方差阵，试求协方差阵11,1nL111213212223313233DDDDDDDDD102030XALAYBLBZCLC33,1nL22,1nLABC、WWDTWX Y Z000ABC、解析：运用协方差传播律解析：运用协方差传播律102030000000XALAWYBLBZCLC111213212223313233TTTTTTTTTAD AAD BAD CBD ABD BBD CCD ACD BCD C注意：注意：为矩阵，为矩阵，因此在相乘时不能写为因此在相乘时不能写为ABC、211A D例例4：已知观测值向量：已知观测值向量 ，和和 及其协方差阵为及其协方差阵为 现组成函数现组成函数式中，式中，为系数阵，为系数阵，为常数阵。令为常数阵。令 ，试求协方差阵，试求协方差阵111213212223313233DDDDDDDDD102030XALAYBLBZCLCABC、WWDTWX Y Z000ABC、11,1nL33,1nL22,1nL解二：解二：将将X、Y、Z看作看作中间量中间量，他们是，他们是W函数的自变量，根据协方阵的形式，写出函数的自变量，根据协方阵的形式，写出WWDXXXYXZWWYXYYYZZXZYZZDDDDDDDDDD然后再根据协方差传播律依次求解矩阵中的元素：然后再根据协方差传播律依次求解矩阵中的元素：11TXXDAD A111213212223313233TTTTTTTTTAD AAD BAD CBD ABD BBD CCD ACD BCD C12TXYDAD B13TXZDAD C21TYXDBD A22TYYDBD B23TYZDBD C31TZXDCD A32TZYDCD B33TZZDCD C避免了矩阵相避免了矩阵相乘错误的发生乘错误的发生例例5：设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角：设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角 ，其中误差为，其中误差为试将三角形闭合差平均分配后的各角试将三角形闭合差平均分配后的各角 的协方差阵。的协方差阵。123LLL、123LLL、分析：分析：一、提取信息：一、提取信息：（1）”同精度独立观测同精度独立观测“0,1,2,3,1,2,3ijL Lij ij2222123LLL222000000LLD观测值的协方差阵观测值的协方差阵（2）”闭合差平均分配闭合差平均分配“123180wLLL112233;333wwwLLLLLL闭合差闭合差平差值平差值二、简化题目：二、简化题目：123LLLL123wLLLLwLw 123LLLL112233111001003311010010331100100133wLLLLLLLLw记则三、分析题意：三、分析题意：求 根据协方差传播律知：求根据协方差传播律知：求 需知需知 ，而求，而求 需知需知 ，由题意可得由题意可得wwL LD LLDLLDLLDwwL LD解：1.写出函数表达式：112233;333wwwLLLLLL矩阵化：112233100001000010111180wLLLLLLwLLw 112233110031010310013LLLLLLLw2.求解wwL LD22222222222221000000100101000000101001000000111113LwLwD向量 和向量 之间的关系式：LwLwK由协方差传播律得：LLD3.求解向量 和向量 之间的关系式：LwL112233111001003311010010331100100133wLLLLLLLLw由协方差传播律得：22222222222222222221211100100003333010001121010001333300111111230013333333 11 21 32 122 33 13 232 2 2 LL LL LLLL LLL LL LL LLD例例6：如图所示，：如图所示，是等边三角形，观测边长和角度得观测值为是等边三角形，观测边长和角度得观测值为 ，且，且 。为使算的的边长。为使算的的边长 具有中误差具有中误差 试问角试问角 和和 的观测精度应为多少？的观测精度应为多少？ABC10000.015bbmm60 0000a0.02am解析：1.写出边长函数式：写出边长函数式：222222222222224sincossincossinsinsinabbb,sinsinablnlnlnsinlnsinab2sincossincossinsinsinbdbddadb2.线性化：线性化：注意：单位统一注意：单位统一3.中误差传播律：中误差传播律：由于由于22222222cossinabb113.34187 代入数值得：代入数值得：例例7：在已知水准点：在已知水准点 （其高程无误差）间布设水准路线，如图所示。路线长度为（其高程无误差）间布设水准路线，如图所示。路线长度为 ，设每千米观测高差中误差，设每千米观测高差中误差 ，试求：，试求：（1）将闭合差按距离分配后）将闭合差按距离分配后 两点间高差的中误差；两点间高差的中误差；（2）分配闭合差后）分配闭合差后 点高程的中误差点高程的中误差AB、1232,6,4Skm Skm Skm1.0mm12PP、1P解析：单位公里高差中误差为 ，设三段水准路线测量高差为123,h h h1.0mm其高差中误差分别为123,1012023032;6;2SmmSmmSmm由协方差传播律得：由题意得：123112233ABABHhhhHHhvhvhvH123123ABABBAvvvvvHHhhh令（1）按距离分配闭合差：2212312ABBASvvHHhhhS22212311112222BAhhvhhhHH 由协方差传播律得：222222123134hhhhmm23hmm（2）点P1的高程函数式：11111235115166666PAAABHHhHhvhhhHH2222212311525363hhhHPmm151.293HPmmmm 例例8：有一角度测：有一角度测4测回，得中误差测回，得中误差 ，问再增加多少测回其中误差为，问再增加多少测回其中误差为?0.280.42解析：考点：同精度独立观测值的算术平均值的精度考点：同精度独立观测值的算术平均值的精度xNN个同精度独立观测值的算术平均值的个同精度独立观测值的算术平均值的中误差中误差=各观测值中误差除以各观测值中误差除以N 12111NLxLLLNNNN观测值的中误差为：0.424 0.84xN xNN 代入数值后得：5N 0.840.284N 例例9：若要在两已知高程点间布设一条附合水准路线（如图所示），已知每千米：若要在两已知高程点间布设一条附合水准路线（如图所示），已知每千米观测中误差等于，欲使平差后路线中点观测中误差等于，欲使平差后路线中点C点高程中误差不大于点高程中误差不大于10mm，问该路线长度最多可达几千米？问该路线长度最多可达几千米？解析：设A、B间最大距离为Skm1CAHHh2CBHHh1010162hCSmmmmSkm 公里1222CCABCHHHhHhH12222244hChhS公里122hhS公里例例10：在图中，由已知点：在图中，由已知点A丈量距离丈量距离S并量测坐标方位角并量测坐标方位角 ，借以计算，借以计算P点的坐标。点的坐标。观测值及其中误差为观测值及其中误差为 ，设，设A点坐标无误差，点坐标无误差，试求待定点试求待定点P的点位中误差的点位中误差 。127.000.03,30 002.5SmmP2222sincoscossin0sincoscos0sinxxySyxySSSSsincoscossinPPSdxdSdySd解析：1.列出坐标函数式：cosPAxxSsinPAyyS2.线性化：sincosPSdxdSdcossinPSdydSd3.矩阵化：4.协方差传播律：()()60注意：单位的统一注意：单位的统一4.点位方差：222Pxy 220.009420.097PPmm 5.代入数值得：解法二：解法二：由点位方差的定义知：由点位方差的定义知：222Pxy22S纵向方差与横向方差之和纵向方差与横向方差之和由题意知：由题意知：220.030.0009sSmm2222S根据关系式：根据关系式：22220.00090.00850.0094PSm2222 2(127.00)(2.560)0.0085(206265)mm 0.097Pm