数字信号处理-第二章

()()x nIZT X zz反变换反变换:从从X(z)中还原出原序列中还原出原序列x(n)()()()nnX zZT x nx n z实质：求实质：求X(z)幂级数展开式幂级数展开式z反变换的求解方法：反变换的求解方法：,0,xxxxRzRRR （）()nnxxnX zC zRzR 根据复变函数理论，若函数根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域在环状区域 内解析，则在此区域内内解析，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即可展开成罗朗级数，即围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）11()2nncCX z zdzj0,1,2,n ()()()nnX zZT x nx n zRe zIm jz0 xRxRC11()()(,)2nxxcx nX z zdzcRRj利用留数定理求围线积分利用留数定理求围线积分()Re ()kz zkx ns F z()Re ()mz zmx ns F z l若若F(z)在围线在围线c上连续，在上连续，在c内有内有K个极点个极点zk，1()()nF zX z z令留数的计算公式留数的计算公式kkzzNkNNzzzFzzdzdNzFs)()()!1(1)(Re11阶）极点的多重（是NzFzk)(的单（一）阶极点是)(zFzkkkzzkzzzFzzzFs)()()(Re2()1/44(4)(1/4)zX zzzz例1：，求其z反变换211()(,)2(4)(1/4)nxxczx nzdzcRRjzz解：211()(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz其中：Re zIm jz0C41/411()4nF zcz 当时在围线 内只有一阶极点14()Re ()zx ns F z1141()4(4)(1/4)nzzzzz415nRe zIm jz0C41/411()(1)04nF zcznz 当时在围线 内有一阶极点和-阶极点cz=4F(z)而围线 外只有一阶极点，且的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上211()(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz其中：Re zIm jz0C41/44()Re ()zx ns F z 14441/4nzzzzz 2415n244()(1)(2)1515nnx nu nun 2()4(4)(1/4)zX zzzz例2：，求其z反变换解：收敛域是圆的外部 lim()1X(z)z=zX z 又，即在处收敛()x n是右边序列()()00 x nx nn是一个因果序列，即，Re zIm jz0C41/410()c(4)(1/4)0()0nznF zzzx n同样当时，由在 外无极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由围线外极点留数为 可得0n 当时1()(4)(1/4)nzF zzz144cz 在围线 内有一阶极点，Re zIm jz0C41/441/4()Re ()Re ()zzx ns F zs F z111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21()(44)()15nnx nu n思考：思考：n=0,1时，时，F(z)在围线在围线c外也无极点，外也无极点，为何为何()0 x n 211()1(1)(1)aX zaazaz例3：，求z反变换21111()2(1)(1)ncax nzdzjazaz解：221111(1)()(1)(1)()()cX(z)nnaazF zzazaza zaza其中：为收敛域内闭合围线1(),X zza a而题中未给出收敛域，根据的极点有三种可能的收敛域：111)2)3)zazaaza11)za收敛域是圆的外部 lim()0zX z又，()()00 x nx nn是因果序列，即，0n 当时1()F zczaa在围线 内有一阶极点，1()Re ()Re ()z az ax ns F zs F z122111(1)(1)()()()()()()nnz az aazazzazaa zazaa zazannaa()()()nnx naau nRe zIm jz0C1aa2)za0n 当时()F zc在围线 内无极点()0 x n 故0n 当时()0F zcnz 在 内有-阶极点1,cza a在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1()Re ()Re ()z az ax ns F zs F z()nnnnaaaa ()()(1)nnx naaun Re zIm jz0C1aa0n 当时()F zcza在 内有一阶极点()Re ()nz ax ns F za0n 当时()0F zczanz在 内有一阶极点和-阶极点1,cza在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1()Re ()nz ax ns F za()()(1)nnnx na u na una 13)azaRe zIm jz0C1aa12()()()()()()KB zX zXzXzXzA z()()x nIZT X z12()()()KIZT XzIZT XzIZT Xz对各部分分式求对各部分分式求z反变换：反变换：部分分式展开法部分分式展开法X(z)是是z的有理分式，可分解成部分分式：的有理分式，可分解成部分分式：01()()()1MiiiNiiib zB zX zA za z11011()11MNMrrnkknknkkkiACX zB zz zz z()Re1,2,kkz zX zAskMrz用留数定理求系数：izzkzzXsC)(Rerk,1 1125()2316zX zzzz例：，求z反变换 112255516623zzzX zzzzzzz解：1252323X zAAzzzzzRe zIm jz032 23353123zzX zAReszzzz 12252123zzX zAReszzzz 1123X zzzz 1111231 21 3zzX zzzzz23z11()1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz 1112z2()nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu nun ()()nnX zx n z1012(1)(0)(1)(2)xzxzxzxz级数的系数就是序列级数的系数就是序列x(n)幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）把把X(z)展开成幂级数展开成幂级数xzRxzR 根据收敛域判断根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的的性质，在展开成相应的z的幂级数的幂级数 X(z)的的x(n)将将X(z)分子分母分子分母 展成展成z的的 按按z的的 因果序列因果序列 负幂级数负幂级数 降幂排列降幂排列 左边序列左边序列 正幂级数正幂级数 升幂排列升幂排列1012(1)(0)(1)(2)xzxzxzxz()()nnX zx n z11()(1)X zzaaz例：，求z反变换122330()1nnnX zaza za za z ()()nx na u n11112222223333111 azazazaza za za za za z122331aza za z解：由解：由Roc判定判定x(n)是是因果序列，用长除法因果序列，用长除法展成展成z的负幂级数的负幂级数11()(1)X zzaaz例：，求z反变换122331()nnnX za za za za z -()(1)nx na un 解：由解：由Roc判定判定x(n)是是左边序列，用长除法左边序列，用长除法展成展成z的正幂级数的正幂级数111122221 11 aza za za za za z12233a za za z2()1/44(4)(1/4)zX zzz z例：，求z反变换解：解：X(z)的的Roc为环状，故为环状，故x(n)是双边序列是双边序列 极点极点z=1/4对应右边序列，极点对应右边序列，极点z=4对应左边序列对应左边序列 先把先把X(z)展成部分分式展成部分分式161()1515(4)()41/41/4X zzzzzzz116()151/44zzX zzz22233416164 44 zzzzzzzz 23144z zz1114114161 141 146 zzzzz 12111416zz2123111()141544X zzzzzz 1+16244()()(1)1515nnx nu nu n 201114154nnnnnnzz()()()()ZT ax nby naX zbY zab，为任意常数max(,)min(,)xyxyRRRzRRR则则()()xxZT x nX zRzR()()yyZT y nY zRzR若若2.5.4 z变换的性质与定理变换的性质与定理1、线性、线性()()xxZT x nX zRzR()()mZT x nmzX zm为任意整数xxRzR则则若若2、序列的移位、序列的移位()()(3)()x nu nu nX z例：，求()()(3)X zZT u nu n解：()(3)ZT u nZT u n3111zzzzzz321(1)zzz2210zzzz()()nnnnZT a x na x n z()nnzzx nXaaxxxxzRRa Rza Ra证：()()xxZT x nX zRzR()nzZT a x nXaa为任意常数xxa Rza R则则若若3、乘以指数序列、乘以指数序列(z域尺度变换域尺度变换)2()()ZT n x nZT n nx n()()dzZT nx ndzddX zzzdzdz 同理：同理：()()xxZT x nX zRzR()()dZT nx nzX zdz xxRzR则若4、序列乘以、序列乘以n()()xxZT x nX zRzR*()()ZT x nXzxxRzR则则若若5、复序列取共扼序列、复序列取共扼序列()()xxZT x nX zRzR1()ZT xnXz11xxzRR则则若若6、翻褶序列、翻褶序列()lim()(0)zx nX zx对于因果序列，有()lim()(0)zx nX zx对于因果序列，有7、初值定理、初值定理8、终值定理、终值定理1lim()lim(1)()nzx nzX z11()lim()lim(1)()Re()znzxx nzX zs X z 设设x(n)为因果序列，且为因果序列，且X(z)=ZTx(n)的极点处的极点处于单位圆以内（单位圆上最多在于单位圆以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶极处可有一阶极点），则：点），则：()()()()Y zZT y nX zH zmax(,)min(,)xhxhRRzRR则()()xxX zZT x nRzR()()hhH zZT h nRzR且()()*()()()my nx nh nx m h nm设设y(n)为为x(n)与与h(n)的卷积和：的卷积和：9、序列的卷积和、序列的卷积和(时域卷积和时域卷积和)1LSI ()()(1)()()nnnh nb u nabu nx na u n例：已知系统的单位抽样响应：，求系统输入的响应。()()()nzX zZT x nZT a u nzaza解：1()()()(1)nnH zZT h nZT b u nabu n1()(1)nnZT b u naZT bu n()()*()()()my nx nh nx m h nm1 zzzaazzbzbzbzb()()()zY zX z H zzbzb()()*()()()ny nx nh nIZT Y zb u nRe zIm jz0ba()()()()Y zZT y nZT x n h nxhxhR RzR R11()2czXH v v dvjvmax,min,hhxxzzRvRRR则()()xxX zZT x nRzR()()hhH zZT h nRzR()()()y nx nh n且且若若10、复卷积定理、复卷积定理11()11X zzz 解：2111()(1)(1)aY zazaazaz11()()2czW zY v Xv dvjv2111112(1)(1)1cadvvjavavvz11aaza 1max,min,1zzava1,vva az平面极点：cva内极点，单阶()(),(),()()()nx nu ny naaw nx n y n例：已知 1 求()(),(),()()()nx nu ny naaw nx n y n例：已知 1 求变换的z11()Re ()1v aW zs F vazaz*1*11()()()2cnx n h nX v Hv dvjv11max,min,xxhhRvRRR则则()()xxX zZT x nRzR()()hhH zZT h nRzR1xhxhR RR R 且且若若11、Parseval定理定理 *1*112jcnh nvex n hnX v Hv dvjv当是实序列，且时则*12jjX eHed 2212jnx nh nx nX ed当=则 2212jnx nh nx nX ed当=则jev 单位圆上收敛时，令