解对初值的连续和可微定理

3.3 解对初值的连续性和可微性定理解对初值的连续性和可微性定理200(,),(,)(1)()dyf x yx yGRdxy xy00(,)yx xyv解对初值的连续性解对初值的连续性 v解对初值和参数的连续性解对初值和参数的连续性 v解对初值的可微性解对初值的可微性 yxG00(,)xy00(,)yx xy00(,)xy00(,)yx xy200(,),(,)()dyf x yx yGRdxy xy解可看成是关于解可看成是关于00,x xy的三元函数的三元函数00(,)yx xy满足满足0000(,)yx xy11(,)x y 解对初值的对称性解对初值的对称性:00(,)yx xy00(,)yx x y解存在唯一解存在唯一例例:0000()x xdyyyy edxy xy初值问题的解不单依赖于自变量初值问题的解不单依赖于自变量 ,同时也依赖于初值同时也依赖于初值 .初值变动初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动相应的初值问题的解也将随之变动.00(,)xyx证明,)()1.3(100 xyxy值的解存在区间内任取一满足由),(0011yxxy则由解的唯一性知,),(),()1.3(0011的解是同一条积分曲线与过点过点yxyx即此解也可写成:),(11yxxy且显然有:),(1100yxxy,),(11是积分曲线上任一点由于点yx。yxyxxy均成立点对该积分曲线上任意因此关系式),(),(00Q1:Q1:解在某有限闭区间解在某有限闭区间 a,b 上有定义上有定义,讨论初值讨论初值 的的微小变化对解的影响情况微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性称为解对初值的连续性.内容内容包括包括:当初值发生小的变化时当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在所得到的解是否仍在a,b上有定义以及解在整个区间上有定义以及解在整个区间a,b上是否也变化很小上是否也变化很小?00(,)xyQ2:Q2:解在某个无限闭区间解在某个无限闭区间 上有定义上有定义,讨论初值讨论初值 的微小变化是否仍有解在的微小变化是否仍有解在 上有定义上有定义,且解在整个且解在整个区间区间 上变化也很小上变化也很小?这种问题称为解的稳定性这种问题称为解的稳定性问题问题,将在第六章中讨论将在第六章中讨论.00(,)xy,)a ,)a ,)a 定义设初值问题)1.3(,)(),(00yxyyxfdxdy,),(00上存在在区间的解bayxxy使得对于满足如果对,0),(,0ba2200200)()(yyxx),(00yx的一切1.解对初值的连续依赖性并且上存在都在区间的解,),(00bayxxy,),(),(0000baxyxxyxx).,(),(),()1.3(000000yxyxyxxy连续依赖于初值在点的解则称初值问题00)1.3(,)(),(yxyyxfdxdy初值问题连续连续关于关于 y 满足利普满足利普希茨条件希茨条件(,)f x y(,)dyf x ydx()x()x0 x000()()()()L x xxxxxe证明令上均有定义在区间设,)(),(baxx,)()()(2baxxxxV)(xV则)()(2xx)()(2xx)()(xx)(,()(,(xxfxxf)(,()(,()()(2)(xxfxxfxxxV)()()()(2xxLxx)(2xLV于是0)(2 LxexVdxd有因对,0bax bxxexVxVxxL0)(20,)()(0，xxa类似可证对0因此,)()(020baxexVxVxxL两边取平方根即得,)()()()(000baxexxxxxxL2220000()()xxyy00(,)xyG00(,)yx xyy(,)f x y0(,)a b0 00(,)yx xy00(,)xy0000(,)(,),.x xyx xyaxb21(,),(),(dyfxyxyGRdxxy000(,)p xyabmin(,/2)0 x0y0y0 xGD00(,)(),yx xyxxa bSD(,)f x yyxG00(,)xy00:(,)S yx xyiC(,)x ySiCG(,)f x yiL1NiiGCSGG0(,),min,/2dG S 1max,NLLLGbaxy000(,)p xyabmin(,/2)0 x0yGDxy000(,)p xyabmin(,/2)0 x0y0y0 xGD00()(,)xx xydc()x,c da b()(),(*)xxcxd000()()()()L x xxxxxe00000()()()()L x xxxxxe)(0000)()(abLexxyy)(1)(abLe)(12abLe10202)(1)()(,21xxxxeabL时当对,min0,)()(:2122020yyxxRRyx),(00()(),xxaxb 连续由于)(xy(,)f x y21(,),(),(dyfxyxyGRdx00(,)xyG00(,),yx xy00,x xy证明,),(00Gyx对,),(),(),(),()1.3(00000000上定义于的饱和解过yxxyxyxxyyx令,),(),(),(|),(00000000GyxyxxyxyxxV,),(00内连续在下证Vyxxy,),(00Vyxx对,),(,000baxxbayxxyba其中上有定义在使使当对,0,01时,)()(21200200yyxx,2),(),(0000baxyxxyxx,),(00连续在而baxyxxy使当故,02时2 xx,2),(),(0000baxxyxxyxx则只要取,min21就有,)()()(22002002yyxxxx),(),(0000yxxyxx),(),(0000yxxyxx),(),(0000yxxyxx的微分方程对含参量)1.3(),(yxfdxdy条件满足局部内一致地关于且在连续在区域设LipschitzyGGyxyxGyxf,),(,),(|),(),(),),(,),(,),(无关与条件满足内对在使为中心球以即对LLipschitzyCyxfGCyxGyx000000000000(,),(3.1)(,),(,)(,).xyGyx xyyx xy 则对方程通过点的解存在且唯一 记这个解为且有,),()1.3(),(,),(,),(000000000bxabxayxyxxyGyxLipschitzyGGyxf其中义上有定在区间的解通过点方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设使当则对,0),(,0ba220200200)()()(yyxx且上也有定义在区间的解通过点方程时,),(),()1.3(,0000bxayxxyyxbxayxxyxx,),(),(00000.,),()1.3(,),(0000内是连续的的函数在它们存在范围作为的解则方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设yxxyxxyLipschitzyGGyxf.,),()1.3(,),(0000在范围内是连续可微的的函数在它们存作为的解则方程内连续都在区域以及若函数yxxyxxyGyfyxf证明,内连续在由于Gyf,),(条件满足局部内关于在故LipschitzyGyxf因此,解对初值的连续性定理成立,即),(00yxxy.,00是连续的在它的存在范围内关于yxx.,),(,0000存在且连续的任一点偏导数在它的存在范围内函数下面证明yxxyxxy.),(显然存在且连续xfx.0存在且连续先证y所确定的解分别为和设由初值),(),(00000yyxyx,),(00yxxy,),(000yyxxy即,),(00 xxdxxfy和,),(000 xxdxxfyy于是xxdxxfxfy0),(),(00yxxdxyxf0)()(,(有的连续性及注意到其中,.10yfyxf)(,(1),(ryxf.00,001010ryry时且时这里当有因此对00y0yxxdxyryxf001)(),(10yz设xxzdxryxfz0),(11即0yz是初值问题zryxfdxdz),(11)(0 xz)22.3(的解,.,00上述初值问题仍然有解时显然当y根据解对初值和参数的连续性定理则从而存在的连续函数是知,0000yzxxyz0000limyyy是初值问题而0yzyxfdxdz),(1)(0 xz的解,不难求得),(exp(00 xxdxyxfy.,00的连续函数显然它是yxx所确定的解分别为和设由初值),(),(00000yxxyx,),(00yxxy,),(000yxxxy即,),(00 xxdxxfy和,),(000 xxxdxxfy于是xxxxxdxxfdxxf000),(),(000),(xxxdxxfxxdxyxf0)()(,(.0存在且连续同样可证x有的连续性及注意到其中,.10yfyxf)(,(1),(ryxf类似有时且时这里当.00,001010rxrx2000),(),(1000ryxfdxxfxxxx有因此对具有相同性质与其中0,021xrrxxdxxryxfryxfx0012000)(),(),(即0 xz是初值问题zryxfdxdz),(102000),()(zryxfxz)22.3(的解,.,00上述初值问题仍然有解时显然当x根据解对初值和参数的连续性定理从而存在的连续函数是知,0000 xzxxxz0000limxxx是初值问题而0 xzyxfdxdz),(),()(000yxfxz的解,不难求得),(exp(),(0000 xxdxyxfyxfx.,00的连续函数显然它是yxx),(exp(),(0000 xxdxyxfyxfx),(exp(00 xxdxyxfy)1.3(,)(),(00yxyyxfdxdy初值问题,),(00有的解yxxy例1 xydxdysin试求已知方程.),(,),(00000000000000 xyxyyyxxyxyxxy解.cos),(,cos),(平面上连续在xyxyxyxfxyyyxfyx.,),(sin0000平面上连续可微在的函数作为的解方程xyyxxyxxyxydxdy由公式得0000000),(xyyyxxy00000),(exp(xyxxdxyxf),(exp(00 xxdxyxfy)0,0,(cos(exp(0 xdxxxx)0)0,0,(,0)0(,0(xyy且满足是原方程的解易见)exp(0 xxdx221xe0000000),(xyxyxxy0000000),(exp(),(xyxxdxyxfyxf)exp()0,0(0 xxdxf0),(exp(),(0000 xxdxyxfyxfx)0,0,(cos(exp()0,0(0 xdxxxxf作业vP92 1,3,4