复变函数课件：第七章 Fourier变换习题课

第七章 Fourier变换一、重点与难点二、内容提要三、典型例题 一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1.求函数的求函数的Fourier变换；变换；2.Fourier变换的简单应用变换的简单应用 求函数的求函数的Fourier变换变换.二、内容提要二、内容提要FourierFourier积分定理积分定理FourierFourier变换变换性质性质线性性质线性性质位移性质位移性质积分性质积分性质*对称性质对称性质相似性质相似性质 函数函数广义广义FourierFourier变换变换微分性质微分性质Fourier变换的应用三、典型例题三、典型例题1、求古典傅里叶变换、积分并验证广义积分结果、求古典傅里叶变换、积分并验证广义积分结果tetfFtid)()(d)(21)(tieFtf .|,0|,sin2d1sinsin,|,0|,sin)(102 ttttFourierttttf并并证证明明变变换换的的计计算算函函数数例例解解 所给函数是奇函数所给函数是奇函数,其其Fourier变换为变换为 tetftfFtid)()()(F 00dsinsin2dsin)(2tttitttfi.1sin22 i再由再由Fourier积分公式得，在连续点处积分公式得，在连续点处 d)(21)(tieFtf tdsin)(0 Fi d1sinsin202 t.|,0|,sin2d1sinsin02 tttt即即.cos2dcos42,cos)(3|042|tetFouriertetftt 并并证证明明变变换换的的计计算算函函数数例例解解所给函数所给函数Fourier变换为变换为 tetftfFtid)()()(F tteetitdcos|teeeetiitittd2|0)1(0)1(0)1(0)1(dddd21tetetetetiitiitiitii|0)1(0)1(0)1(0)1(111121 iieiieiieiietiitiitiitii iiiiii)1(11)1(11111121 .44242 d)(21)(tieFtf 再由再由Fourier积分公式得积分公式得 dcos)(10tF .dcos4421042 t dcos42042 t即即.cos2|tet 例例4 已知某函数的傅氏变换为已知某函数的傅氏变换为,sin)(F求该函数求该函数.解解 dsin21)(tietf dcossin20 t d)1sin(d)1sin(00 tt 1,01,21,21,01,21,2tttttt 1|,21|,1|,0ttt 所以所以.1|,411|,211|,0)(ttttf.)(,0,0,)(,0)1(积积分分为为的的则则函函数数设设Fouriertftetetfaatat .)(,)()(tftf则则设设2132 F 022d21 atatfcos)()(|)(te 232答案：答案：练习：练习：2.广义傅里叶变换广义傅里叶变换一些常见函数的广义一些常见函数的广义Fourier变换变换:.)(1)(.1变变换换对对构构成成一一个个和和Fourieritu .)(21.3变变换换对对构构成成一一个个和和Fourier .)(2.400变变换换对对构构成成一一个个和和Fouriereti .1)(.2变变换换对对构构成成一一个个和和Fouriert.)(.500变变换换对对构构成成一一个个和和Fouriertteit ).(2d0)(0 teti).(2d0)(0ttetti )()(),()()1(0 tftttfF则则设设 00)()(2)(1)(titieDeCBA )()(,cos)()2(0 tfttfF则则设设)()()()()()()()()()()()(00000000 iDiCBA练习：练习：DA)()(,)2()()3(0 tfettftiF则则设设 )(2)()(2)()(2)()(2)(02020202 iiiieDeCeBeA)()4(下下列列变变换换中中不不正正确确的的是是再进行傅氏变换提示：1)(2)sgn()(2)sgn()(1)(2)()(2 1)()(1)()(tutDitDtCBituAFFFFAC.|)(5变变换换的的计计算算函函数数例例Fourierttf 解解并并且且由由于于,1)(2sgn|tutttt1)(21)(2FFF tutu)(2)(22 i.2 i 由由Fourier变换的微分性质变换的微分性质,得得.2)(|2 FitF3.利用性质计算傅里叶变换利用性质计算傅里叶变换练习：练习：求函数求函数tt0cos|的傅里叶变换的傅里叶变换.解解 cos|0tt Fcossgn0ttt Fcoscos)(200tttttu FF )()(100 i)()(100 i)()(00 .)(1)(1020 例例6 求函数求函数(t 2)f(2t)的傅里叶变换的傅里叶变换,其中其中).()(tfFF 解解)2(2 )(2121)2()2(2tfttftft FFF)2(212)2(4 FFi )2()2(4 FFi)2(dd2 Fi练习练习 求函数求函数(1 t)f(1 t)的傅里叶变换的傅里叶变换,其中其中).()(tfFF 解：解：tetftFtid)1()1()(teftid)(1)1(tefeiid)()()(ttfeiF d)(d Fiei并并推推证证变变换换的的求求函函数数例例,)(72Fouriertetft .2dsin22041ttete .,422 eeFouriertF变换知变换知由钟型脉冲函数的由钟型脉冲函数的解解再再由由微微分分性性质质可可得得.2422 eitetF为为奇奇函函数数注注意意到到)(tf d)(21)(tietftfF d221tiei dsin4142tiei即有即有.2)(2dsin2204ttetftie )()(,)()3(0 tftetftiF则则设设)(2)()(2)()(2)()(2)(0000 iDiCBA.)(,sin)()4(2 tfttfF则则设设.)(*)(,0,0,0)()5(tftutettft则则设设D)2()2(2)()()1(tuet .sin)()(80变变换换的的计计算算函函数数例例Fouriertettutft 解解 法一法一 ,1)(ietutF F由利用位移性质利用位移性质,)(21)(21sin)(000tittitteetuieetuitetu F FF FF F4.综合运用综合运用,)(2200 i 再由微分性质再由微分性质 22000)(ddsin)(iitettutF F22200)(2）（ii )(121)(12100 iiii法二法二2)(1)(dd)(iFiettut F F,)(21)(21sin)(000tittitteettuieettuitettuF FF FF F,由位移性质2020)(121)(121iiii22200)(2）（ii ).(),0(|,1|,0)()(9tfFFouriertf求求变变换换为为的的已已知知函函数数例例 解解 d)(21)()(1tieFFtf F d21tie ).sin(sintttt .,)()(.)0(,0),()(,sin)(波波中中发发挥挥了了重重要要作作用用间间信信号号恢恢复复以以及及信信号号滤滤、离离散散时时它它在在连连续续时时间间的的离离散散化化抽抽样样信信号号称称为为或或者者信信号号定定义义时时当当则则记记tSatSafttSatftttSa t)(tf 2 2).()0()(d)(),()(10 FiFttfFtft FF证证明明若若例例证证有有积积分分定定理理的的条条件件时时满满足足当当知知由由前前面面介介绍绍的的积积分分性性质质,d)()(,Fourierttftgt .)(d)(iFttft F即即的的卷卷积积与与表表示示为为可可以以将将为为一一般般情情况况时时当当,)()()(,)(tutftgtg).(*)()(tutftg tftuftutf.d)(d)()()(*)(这这是是因因为为利用卷积定理利用卷积定理)()()(*)()(tutftutftgFFFF )(1)(iF).()0()(FiF ).()0()(d)(,0)(lim:FiFttfFouriertgtt F即即数数变变换换就就包包括括一一个个脉脉冲冲函函它它的的的的条条件件不不满满足足时时当当说说明明所所以以是是绝绝对对可可积积的的由由于于时时即即时时当当特特别别,)(,0d)(,0)(lim,tfttftgt tetfFFtid)(lim)(lim)0(00 tetftid)(lim0 .0d)(ttf.,0)0(,0)(lim,积积分分性性质质相相一一致致与与前前面面的的古古典典意意义义下下的的从从而而就就有有时时当当由由此此可可见见 Ftgt ).0(1d)()(102222babtaty 求求解解积积分分方方程程例例解解满满足足的的方方程程为为由由卷卷积积定定理理可可得得像像函函数数并并记记变变换换对对方方程程两两边边取取即即的的卷卷积积与与方方程程两两边边是是未未知知函函数数)().()(,.1*)(,1)(2222 YYtyFourierattyatty F.11*)(2222btatty FF.11)(2222btatY FF.11)(2222atbtY FF 即即 tateattid12222 F而而 022dcos2tatt,Res2d22|22|aiateitatetiti .22|aaittieatei .1|22 bebbt F同同理理.)(|)(|ababebaeaebY 所所以以再取再取Fourier逆变换得方程的解逆变换得方程的解)()(|)(abeababbaYty 1-1-FF.)(1)(22abtbaba (附录附录I公式公式31).)()()()(dd1122为为已已知知函函数数的的解解，其其中中分分方方程程求求常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微例例tftftytyt ).()(),()(FtfYty F FF F设设解解利用利用Fourier变换的线性性质和微分性质，对上述变换的线性性质和微分性质，对上述微分方程两端取微分方程两端取Fourier变换得变换得),()()()(2 FYYi ).(11)(2 FY 所所以以 d)(21)(tieYty从从而而.d)(11212 tieF由由卷卷积积定定理理可可得得因因此此变变换换对对构构成成一一个个与与又又,11212|Fourieret )(*21(|tfetyt ）.d)(21|tef.,)(d)()()(12均均为为常常数数的的解解，其其中中求求解解微微分分积积分分方方程程例例cbatthttxctbxtxat 解解利用利用Fourier变换的线性性质、微分性质和积分变换的线性性质、微分性质和积分性质，性质，对上述微分方程两端取对上述微分方程两端取Fourier变换得变换得).()(),()(HthXtx F FF F且且设设),()()()(HXicbXXai .)()()(caibHX 而上式的而上式的Fourier逆变换为逆变换为 d)(21)(tieXtx.d)()(21 tiecaibH放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.