复变函数课件：3-复变函数的积分习题课

机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分一、积分定义一、积分定义二、围线积分二、围线积分三、用积分不等式证明三、用积分不等式证明四、已知调和函数求解析函数四、已知调和函数求解析函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质柯西积分定理柯西积分定理原函数原函数的定义的定义多连通区域多连通区域的柯西定的柯西定 理理柯西积分柯西积分公公 式式高阶导数公式高阶导数公式调和函数和调和函数和共轭调和函数共轭调和函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3例例1 1 计算计算 的值，其中的值，其中C为为1）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：2）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：与从与从 到到 的线段的线段 所接成的折线所接成的折线.czzd)0,0()1,1(;10,ttytx)0,0()0,1(,10,0,:1 tytxC)0,1()1,1(10,1:2 ttyxC解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1,1()0,1(C1C2COxy;1 一、积分定义一、积分定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4zzzzzzcccddd)221 1010d)1(dtiittt i2121.1i 说明说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同同一函数沿不同路径所得积分值不同.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5则则 cdziyx)(2()()（B）i6561 （C）i6561 （D）i6561 1 1设设c为从原点沿为从原点沿xy 2至至i 1的弧段，的弧段，i6561（A）练习：练习：D机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 62.求积分求积分 Cz-zd)1(其中曲线其中曲线C为为C1：从：从 1 到到 1 的的下半单位圆周下半单位圆周和和C2:从从 1到到 1 的直线构成的封闭曲线的直线构成的封闭曲线.1C2COxy)0,1()0,1(答案：答案：d)1(d)1(21iiCieezz .2 i 2d)1(d)1(112 ttzzC Cizz d)1(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7解解222442zzzz ,1124 .d42)1cos(21001zzzzzz 例例2 2 计算计算1 z当当 时时,故由柯西定理得故由柯西定理得.0d42)1cos(21001 zzzzzz二、沿围线积分二、沿围线积分(柯西定理、柯西积分公式、高阶导数公式柯西定理、柯西积分公式、高阶导数公式)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8)(zfB设设在单连通域在单连通域内处处解析且不为零，内处处解析且不为零，C为为B内任何一条简单闭曲线，则积分内任何一条简单闭曲线，则积分dzzfzfzfzfc )()()(2)()i 2（B）等于）等于0（C）等于）等于 （D）不能确定）不能确定i 2（A）等于等于练习练习答案：答案：(C)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9计计算算以以下下积积分分沿沿指指定定路路径径23:izC CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由柯西积分定理有由柯西积分定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222例例3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10 解法一解法一 利用柯西定理及重要公式利用柯西定理及重要公式izizzzz 1211211)1(12由柯西由柯西-定理有定理有,0d1211 zizC,0d1211 zizC,0d12 zzC,0d1212 zizCyxOi i C2C1C机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11 21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii 2212.i 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12 解法二解法二 利用柯西积分公式利用柯西积分公式,11)(121内解析内解析在在Czzf ,)(1)(22内解析内解析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii.i 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 13由由柯柯西西积积分分定定理理有有则则及及为为半半径径作作圆圆以以为为圆圆心心及及以以分分别别及及内内有有两两个个奇奇点点在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121内解析内解析在在Czezfz ,)()(22内解析内解析在在Cizzezfz 因此由柯西积分公式得因此由柯西积分公式得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 14 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15.10,d)1(3光滑曲线光滑曲线的闭的闭与与是不经过是不经过其中其中计算计算CzzzeCz 解解分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论：则则也也不不包包含含既既不不包包含含若若封封闭闭曲曲线线,10)1C,)1()(3内解析内解析在在Czzezfz .0d)1(3 Czzzze由柯西定理得由柯西定理得例例4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16则则而而不不包包含含包包含含若若封封闭闭曲曲线线,10)2C由柯西积分公式得由柯西积分公式得内解析内解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1 Czzzzed)1(303)1(2 zzzei.2 i dzzzeCz 3)1(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17则则而而不不包包含含包包含含若若封封闭闭曲曲线线,01)3C,)(内解析内解析在在Czezfz 由高阶导数公式得由高阶导数公式得 Czzzzed)1(3zzzeCzd)1(3 )1(!22fi 132)22(zzzezzi.ie zzzeCzd)1(3 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18,01)4又包含又包含既包含既包含若封闭曲线若封闭曲线C,0,1,0212121互不包含互不包含互不相交互不相交与与且且内内也在也在和和使使为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心则分别以则分别以CCCCCCC 据柯西积分定理有据柯西积分定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19 Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分,2)2d)1(13izzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20练习：练习：)(0zfD)(zf1 1设设在区域在区域内解析，内解析，如果如果（A）等于）等于0CD为为内任内任D一条正向简单闭曲线，它的内部全属于一条正向简单闭曲线，它的内部全属于.)(zf在在C0z上的值为上的值为2 2，那么对，那么对内任一点内任一点,C（C）等于）等于2（B）等于）等于1（D）不能确定）不能确定0)3(f其中其中,)2sin()(2 dzzf,2 z 2设设则则if23)1(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21例例5 5.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并证明并证明求积分求积分解解 根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,1dzzzze02 zzei;2 i )(,irez令令,1 rz 1dzzzze diireirereei diee i 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22 dsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei diee i ,2d 1izzezz 因为因为 cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei 1dzzzze比较两式得比较两式得.d)cos(sin0cos e机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 230)1(1)1()!1(2d)1(znznnizz;0 0)1(1)()!1(2d)2(znzznzenizze0)!1(2 zzeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 为大于为大于1的自然数的自然数.n练习练习 1.计算下列积分计算下列积分答案：答案：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 242.设函数设函数f(z)在在|z|1上解析上解析,且且f(0)=1,求积分求积分.d)()1(2211|zzzzfzzi 答案：答案：1|d)()1(221zzzzfzzi zzzfzfzzfizd)()()(2211|2 0)()0(2 zzff).0(2f 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 25例例6 6证证),2,1()!1(11)!1()0(,11)()(1)(nnennfzzfzfznn证明证明解析且解析且内内如果如果,10d)(2!)0(1)(rzzzfinfrznn因为因为 rznnzzzfnfd)(2!)0(1)(所以所以 rznzzznd)1(12!1,)1(!nrrn ,1 nnr取取不等式即证不等式即证.三、利用积分估值不等式证明三、利用积分估值不等式证明机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 26).,(),()(),(.),(22yxivyxuzfyxvxyyxyxu 及及解解析析函函数数轭轭调调和和函函数数求求其其共共已已知知调调和和函函数数解法一解法一 偏积分法偏积分法.利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程,2)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又例例7四、用调和函数求解析函数四、用调和函数求解析函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 27,2)(2:yxygx 比较两式可得比较两式可得.)(yyg 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222为任意常数为任意常数因此因此CCyxxyv 因而得到解析函数因而得到解析函数),(),()(yxiyxuzf iCyxxyixyyx 222)(2222iCyixyxiyixyx )2(2)2(2222.)2(22iCiz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 28 解法二解法二 线积分法线积分法.),()0,0(),(d),(yxCyxvyxv因因为为 ),()0,0(ddyxCyyvxxv,dd),()0,0(yxCyxuxyu ),()0,0(d)2(d)2(),(yxCyyxxxyyxv所所以以 )0,()0,0()0,()0,0(d)2(d)2(xxyyxxxy ),()0,(),()0,(d)2(d)2(yxxyxxCyyxxxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 29 xyCyyxxx00d)2(d)0(),(22222为任意常数为任意常数CCyxyx 因而得到解析函数因而得到解析函数),(),()(yxiyxuzf .2)2(2iCiz Cyyxxxyxxyyx d)2(d)2(000机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 30解解xuyv 因为因为yyxyxyxvd)3123(),(22 所以所以),(63322xgyxyyx ,yuxv 因为因为)666()(66222yxyxxgyxy 所以所以26)(xxg xxxgd6)(2 ,23Cx 3223236),(yxyyxxyxu ivuzf )(.0)0(f例例8 8 已知已知 求解求解析函数析函数 ,使符合条件使符合条件,312322yxyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 31)263(236)(33223223Cxyxyyxiyxyyxxzf iCzi 3)21(0)0(f.)21()(3zizf 故故Cxyxyyxyxv 3322263),(且且,0 C机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 32一一、求求下下列列积积分分.1111,d|.121曲曲线线的的直直线线段段”组组成成的的封封闭闭到到：从从和和“”到到：上上半半单单位位圆圆周周从从为为由由“其其中中 CCCzzC补充题：补充题：.31,d)9)(1(23.222简简单单闭闭曲曲线线的的任任意意，为为不不经经过过其其中中iCzzzzC 作业：作业：P48 17(2)(3)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 33二二、).3(),1(,2|,d)3sin()(2|ffzzzf 求求其其中中设设 三、三、.1)0()(,2222 fivuzfxyxv使使得得函函数数并并求求解解析析为为调调和和函函数数验验证证四、证明在复平面上四、证明在复平面上,非常值非常值n 次多项式次多项式nnnazazazp 110)(至少有一个零点至少有一个零点.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 34设设)(zf在在)1(RRz内解析，且内解析，且2)0(,1)0(ff试计算积分试计算积分idzzzfzz8)()1(122并由此得出并由此得出 202)(2cosdefi之值之值.五五.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.