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第四章 微积分 本章考虑用 Maple系统求解极限、导数、微分、积分、 级数展开、级数求和等问题。 4.5 导数的应用 1、 Rolle定理 f:=x-x5-2*x2+x; diff(f(x),x); iscont(f(x),x=0.1,closed); evalb(f(0)=f(1); fsolve(f(x)=0,x=0.1); plot(f(x),x=0.1); 例 1. 证明方程 在 (0,1)内至少有一个根 . 0145 4 xx 2、函数的单调性 例 2. 确定 在 (-,+ )内的单调性 . 1)( xexf x f:=x-exp(x)-x-1; f1:=diff(f(x),x); fsolve(f1=0,x); assume(x0); is(f10); assume(x<0); is(f12*x3-6*x2-18*x+7; f1:=diff(f(x),x); sols:= fsolve(f1=0,x); assume(x0); assume(x-1,x<3); is(f13);is(f12*x3-6*x2-18*x+7; f1:=diff(f(x),x); f2:=diff(f1,x); sols:=fsolve(f1=0,x); subs(x=sols1,f2); subs(x=sols2,f2); 例 5. 求函数 在区间 -5,1上的最大值和最小值 . xxxf 1)( restart: f:=x+sqrt(1-x); eq:=diff(f,x); sols:=solve(eq,x); evalf(subs(x=sols1,f); evalf(subs(x=-5,f); evalf(subs(x=1,f); 例 6. 判断下列曲线的凹凸性 .)()2( ;1)()1( 3xxf xxxf restart: f:=x+sqrt(1-x); diff(f,x$2); g:=x3; g1:=diff(g,x$2); assume(x0);is(g10); assume(x<0);is(g1<0); restart: f:=3*x4-4*x3+1; f1:=diff(f,x$2); eq:=f1=0; solve(eq,x); 例 7. 求函数 的拐点 . 143)( 34 xxxf assume(x0); assume(x0,x<2/3); is(f12/3); is(f10); subs(x=0,f); subs(x=2/3,f); plot(f,x=-1/2.1); 4.6不定积分 调用形式 : int(表达式 ,积分变量 ); 1、不定积分的计算 例 : int(x2-2*x+3,x); int(exp(x+1),x); 不定积分表 Int(k,x)=int(k,x); Int(xmu,x)=int(xmu,x); Int(1/x,x)=int(1/x,x); Int(1/sqrt(1-x2),x)=int(1/sqrt(1-x2),x); Int(cos(x),x)=int(cos(x),x); Int(sin(x),x)=int(sin(x),x); Int(1/cos(x)2,x)=int(1/cos(x)2,x); Int(1/sin(x)2,x)=int(1/sin(x)2,x); Int(sec(x)*tan(x),x)=int(sec(x)*tan(x),x); Int(csc(x)*cot(x),x)=int(csc(x)*cot(x),x); Int(ax,x)=int(ax,x); 例 1. 计算下列不定积分 . s i n3 1 )4(; 2 c os 2 s i n 1 )3( ; )1( 1 )2(; 1 )1( 2 22 2 2 3 dx x dx xx dx xx xx dx xx Int(1/(x*x(1/3),x)=int(1/(x*x(1/3),x); Int(1+x+x2)/(x*(1+x2),x)=int(1+x+x2)/(x*(1+x2),x); Int(1/(sin(x/2)2*cos(x/2)2),x)=int(1/(sin(x/2)2*cos(x/2)2),x); Int(1/(3+sin(x)2),x)=int(1/(3+sin(x)2),x); 可利用 combine对表达式进行化简 Int(1/(sin(x/2)2*cos(x/2)2),x) =int(combine(1/(sin(x/2)2*cos(x/2)2),x); (1) 换元积分法 2、积分方法 .s i n)1( c o s.1 3 dxxx 求积分例 with(student): ut:=Int(cos(x)+1)3*sin(x),x); changevar(cos(x)+1)=u,ut); ut1:=value(%); subs(u=(cos(x)+1),ut1); .2 22 dxxa 求积分例 restart:with(student): assume(a0); assume(t-Pi/2,texp(-x2); s:=leftsum(f(x),x=0.1,100); evalf(%); evalf(int(exp(-x2),x=0.1); 图示 : with(plots): a:=array(1.2,1.2): a1,1:=leftbox(f(x),x=0.1,5): a1,2:=leftbox(f(x),x=0.1,10): a2,1:=leftbox(f(x),x=0.1,20): a2,2:=leftbox(f(x),x=0.1,100): s:=leftsum(f(x),x=0.1,100); display(a); (2) 梯形法 .)()()( 2 1 )( : 1 1 n k k b a xfbfaf n ab dxxf 梯形法公式 restart: n:=100; f:=x-exp(-x2); a:=0:b:=1:s:=0: s1:=1/2*(f(a)+f(b): for k from 1 to 99 do x:=k/n: s:=s+f(x): od; s:=evalf(b-a)/n*(s+s1); (3) 抛物线法 .)(4)(2)()( 3 )( : 2 2 1 2 1 122 n k n k kk b a xfxfbfaf n ab dxxf 抛物线法公式 restart: n:=100; f:=x-exp(-x2); a:=0:b:=1:s:=0: s1:=1/2*(f(a)+f(b): for k from 1 to n/2 do x1:=(2*k-1)/n: x2:=2*k/n; s:=s+2*f(x2)+4*f(x1); od: s:=s-2*f(b): s:=evalf(1/(3*n)*(s+s1); (1) 积分区间为无穷区间的广义积分 3、广义积分 ).0()2(; 1 1 )1( .1 02 pdxxedx x px 计算积分例 Int(1/(1+x2),x=-infinity.infinity) =int(1/(1+x2),x=-infinity.infinity); Int(x*exp(-p*x),x=0.infinity) =int(x*exp(-p*x),x=0.infinity); (2) 无界函数的广义积分 .)0( 1 )1( .2 0 22 a adx xa 计算积分例 restart; assume(a0); f:=x-1/sqrt(a2-x2); Int(1/sqrt(a2-x2),x=0.a)=int(f(x), x=0.a); 4.8 定积分的应用 1、平面图形的面积 . 42.1 2 的图形面积 围成与直线计算抛物线例 xyxy with(plots): implicitplot(y2=2*x,y=x-4,x=0.10,y=-2.10); solve(y2=2*x,y=x-4,x,y); int(y+4-y2/2,y=-2.4); .)0,3( )3,0(34.2 2 积处的切线围成的图形面和 及其在点计算抛物线例 xxy f:=-x2+4*x-3; x1:=0:y1:=-3:x2:=3:y2:=0: k1:=subs(x=x1,diff(f,x); k2:=subs(x=x2,diff(f,x); f1:=k1*(x-x1)+y1; f2:=k2*(x-x2)+y2; plot(f1,f2,f,x=-2.4); solve(y=-2*x+6,y=4*x-3,x,y); int(4*x-3-(-x2+4*x-3),x=0.3/2) +int(-2*x+6-(-x2+4*x-3),x=3/2.3); 2、旋转体的体积 . ,2.3 3 2 3 2 3 2 计算所得旋转体的体积 轴旋转所围成图形绕把星形线例 xyx with(plots): implicitplot(x2)(1/3)+(y2)(1/3)=2(2/3),x=-2.2,y=- 2.2); assume(x=-2,x2/3*x(3/2); int(sqrt(1+diff(f(x),x)2,x=a.b); .)20()c o s1( )s i n(.5 的弧长计算摆线例 t tay ttax assume(a0): x:=t-a*(t-sin(t):y:=t-a*(1-cos(t): dx:=D(x)(t);dy:=D(y)(t); int(sqrt(dx2+dy2),t=0.2*Pi);