高等代数在实际生活中的应用

!高等代数在实际生活中的应用！制作人Sy1106董耀聪y季震涛摘要：随着现代科学的发展，数学在经济中广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的因素之一，马克思曾说过：“一门学科 只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”。下面 通过具体的例子来说明高等代数知识在经济生活中的应用。 关键词：矩阵；特征值；经济应用一：在经济生活中的应用1“活用”行列式定义定义：用符号 氐， 表示的n阶行列式D指的是n!项代数和，这些项是一切可能的取自D不同行与不同列上的n个元素 的乘积“匕川化宀.的符号为卜： 由定义可以看出。n 阶行列式是由n!项组成的，且每一项为来自于D中不同行不同列的n 个元素乘积。实例 1：某市打算在第“十一”五年规划对三座污水处理厂进行技术 改造，以达到国家标准要求。该市让中标的三个公司对每座污水处理 厂技术改造费用进行报价承包，见下列表格 （以 1 万元人民币为单 位）在这期间每个公司只能对一座污水处理厂进行技术改造，因此 该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司，为了使报价的总和最 小，应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂?19 24 16D= 17 20 15设这个问题的效率矩阵为一 19 21 17 |,根据题目要求，相当于从 效率矩阵中选取来自不同行不同列的三个元素“和”中的最小者!从 行列式定义知道，这样的三个元素之共有31=6（项），如下：匝 24 16 24 1619 24 16IZ 二 17 2p| 15）：=17 20 回D：f1720 1519 21 17 .19 叵 17119 21 17. 19i20H7=56 19i15_21-55 24+ 17+17=5S19 24 |16|'191619 24 回17 20 15D5= 17 20 15D= 17® 1519 巨 17'19' 21 17网 21 17 10 171-21-5424 门5 卜 19-5815十26 19-55由上面分析可见报价数的范围是从最小值54 万元到最大值58万元 由得到最小报价总数54 万元，因此，该城市应选定即公司1污水扯理厂C处司U汚密號理厂A并司m污水扯理厂H2 “借用”特征值和特征向量定义：设A是F中的一个数.如果存在V中的零向量二使得吨 那么A就叫做的特征值，而叫做的属于本征值A的一个特征向量。实例2：发展与环境问题已成为 21 世纪各国政府关注 和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提 出了以下的工业增长模型：设是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位），J是目前的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位 ）若干年后（例如5年后）的污染水平和工业发展水平分别为和川 它们之间的关系为Sb试分析若干年后的污染水平和工业发展水平。对于这个问题，将（1）写成矩阵形式，就是7 '"1 22 11尢丿L1岛=% 1月二0兀.22=44，41卜由此可预测若干年后的污染水平与工业发展水平为原来的4倍。二：整系数多项式因式分解的一种矩阵方法及程序设计语言矩阵理论是高等代数中主要的内容之一在数学的各个分支中起着重要的作 用在中学数学中高次多项式的因式分解比较困难可以将多项 式的因式分解转化为矩阵的运算利用矩阵的乘法、矩阵的秩等相关 的知识来分解整系数多项式，并将计算过程设计成相应的pascal程 序语言n次整系数多项式的因式分解在有理数域中可以利用艾森斯 坦因(Eisenstein判别法，先判别n次整系数多项式是否可约，如果可 约，就先求可能的有理根。再初步过滤，然后用综合除法确认下 面给出利用矩阵分解整系数多项式的方法分解定理我们已经在高等 代数教材的前几章学过，以下着重介绍程序的应用。定理设介卜吋十。萨】+4厲工0)是n次整系数多项式，贝U 汽©有Ml WK")次整因式的充分必要条件是存在一个系数为整数 且 秩 为 1 的 (r+1)*(n-r+1) 阶 矩 阵 . 使得珠二丫陽/二0,1,2,，门，1 WiW卄1,1W/W口一r+L舉1求f(x)xJ-7?+7x+l的整因式的计算表程序代码如下：Program p;Vari j ,k,l,n ,b,m,q, a0,a3 :in teger；2： char; c,dXe,g：array1,.255of integer;ff:array 1 25,1 -255of integeq beginwriteln;nead(n,aO);readln;for i:=l to n doread(ei);b:=aO*en;k:二0;右二for i;=l to 血(b) doif (b mod i)二0 thenbeginc2*k+1 ：=i;c2*k+2：-i;k:=k+l;end;writein;write(为 12: j;for j:=l to 2*k dowrite(cj:6);end; writein; for I:=l to n-2 do beginfor j:=l to 2*k dobeginwrited|j:6)；end;Wnteln; 归1£(色；1+1,2； for j:=l to 2*k do begindiv aO;write(dj:6); end;writeinend; write(花;n-1/1:; for j:=l to 2*k dobegin <ffil：=4n-ll-dm；write(dj:6);end; writein;a3:=l;for j:=l to 2*k doif(dDl*cD>b then begin fa3:=cj;a3:=a3+1;end;writeln;writein;for j：=l to a3-l dobeginif(aO<> 1 )and(aO<>-l)then beginif fj>0 thenif aOl thenbegin if 垢>0 then writeC(W4j加writeCXj朋be回i if 巧>0 then writeC(W4iJ1 else writeC(xMj訂？ end;if ftO=-l then begin"if fl>0 then writef(-x+%j朋 elseend;end;writeln;writein;for q:=l to a3-l do begin ffqfl:=a0y:=2;for 1;=1 to n-2 dofor i:=l to ti do write(ffq,2*i-lr7); writein;for i:二 1 to ti do write(ffqt2*i:7); writein; writein;end;参考文献：【1】张禾瑞，郝钢新高等代数M.北京：高等教育出版社，【 2】陈昭木，陈清华。林亚南，等高等代数明福州：福建教育出版社【3】谭浩强.pascal程序设计【M】北京：清华大学出版社结语：感谢泽爷一年中对我们的教导，课堂上许多画面让我们终生难忘。祝老师桃李遍天下，身体健康。您的学生：董耀聪 1211003 季震涛 11211084