高等数学(下)教学课件-d

一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 第七章 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x)0,0)(ddyxPxy若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.解方程.)1(12dd25xxyxy解解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2)1(xCy用常数变易法常数变易法求特解.令,)1()(2xxuy则)1(2)1(2 xuxuy代入非齐次方程得21)1(xu解得Cxu23)1(32故原方程通解为Cxxy232)1(32)1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求方程的通解.解解:注意 x,y 同号,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式,得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可变形为0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy所求通解为)0(CCeyyxyCyln这是以x为因变量,y为 自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0例例3.有一电路如图所示,sintEEm电动势为电阻 R 和电.)(tiLERK解解:列方程.已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始条件:00ti由回路电压定律:其中电源求电流感 L 都是常量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 LERK解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(由初始条件:00ti得222LRLECm)(ti dtLRetLEmsintLRmeCtLtRLRE)cossin(222tetLRddC利用一阶线性方程解的公式可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 tLRmeLRLEti222)()cossin(222tLtRLREmtLRmeLRLEti222)()sin(222tLREm暂态电流稳态电流则令,arctanRLLERK因此所求电流函数为解的意义:机动 目录 上页 下页 返回 结束*二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程 伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解:令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez 将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.方法2 用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离 变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 P315 1(3),(6),(9);2(5);6;7(3),(5)作业第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设有微分方程,)(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件00 xy的连续解.解解:1)先解定解问题10,2xyy00 xy利用通解公式,得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00 xy得21C故有)10(22xeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)再解定解问题1,0 xyy1122)1(eyyx此齐次线性方程的通解为)1(2xeCyx利用衔接条件得)1(22eC因此有)1()1(2xeeyx3)原问题的解为y10),1(2xex1,)1(2xeex机动 目录 上页 下页 返回 结束(雅各布第一 伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.