2016-2017学年高中数学第1章立体几何初步1.2-1.2.2空间两条直线的位置关系课件苏教版必修2.ppt

第 1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1 2.2 空间两条直线的位置关系 情景导入 在天安门广场上 ， 旗杆所在的直线与长 安街所在的直线 ， 它们既不相交 ， 也不平行 ， 它们具有怎 样的位置关系呢？旗杆与天安门广场、天安门广场与地面 又有怎样的位置关系呢？ 学习目标 1. 了解空间中直线与直线的位置关系 ( 重点 ).2. 理解公理 4 与等角定理 ， 并能解决一些简单的相 关问题 ( 重点、难点 ).3 . 理解两条异面直线所成角的概念 ， 会求两异面直线所成角 ( 重点、难点 ) 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直 线： 同一平面内 ， 有且只有一个公共点 ； 平行直线：同一 平面内 ， 没有 公共点； 异面直线： 不同 在任何一个平 面内 ， 没有公共点 相交直线 和 平行直线 统称为共面直 线 2 公理 4 ：文字语言： 平行于同一条直线 的两条直 线互相平行；符号语言：设 a ， b ， c 是三条直线 ， a b ， c b a c 3 空间中的等角定理：如果一个角的两边和另一个 角的两边分别 平行 ， 并且 方向相同 ， 那么这两个角相等 4 异面直线所成的角：已知异面直线 a ， b ， 经过空 间中任一点 O 作直线 a a ， b b ， 我们把 a 与 b 所成 的 锐角 ( 或直角 ) 叫异面直线 a 与 b 所成 的角 ( 夹角 ) 一、空间两条直线的位置关系 1 共面：空间的几个点或几条直线 ， 如果都在同一 平面内 ， 我们就说它们共面共面的两条直线位置关系 又分平行和相交两种 2 异面直线：把既不相交也不平行的直线叫作异面 直线异面直线判定方法：与一平面相交于一点的直线 与这个平面内不经过该点的直线是异面直线 空间的两条直线的位置关系的判定是以平面的基本 性质和推论为重要依据的 ， 位置关系的表示则是通过相 关符号语言实现的 ， 以下几种常用的符号语 言同学们要 记牢 点 A 在直线 b 上 ， 记作 A b ， 点 B 不在直线 b 上 ， 记作 B b ； 点 B 在平面 内 ， 记作 B ， 点 B 不 在平面 内 ， 记作 B ； 直线 a 在平面 内 ， 记作 a ， 直线 a 不在平面 内 ， 记作 a . 二、公理 4 公理 4 将平面内两条直线平行的传递性推广到了空 间中 ， 是证明线线平行的重要依据之一但要注意：并 不是所有平面内的结论都能推广到空间中来 三、等角定理 等角定理的实质是空间中角的 平移，在应用时我们 需要注意以下两个结论的区别： 如果一个角的两边分 别平行于另一个角的两边且两边的方向分别相同，那么 这两个角 相等； 如果一个角的两边分别平行于另一个 角的两边且有一组边的方向相同，另一组边的方向相反， 那么这两个角互补 其中 “ 角的两边分别平行 ” 这个条 件要特别注意 ， 谨记等角定理的逆命题不成立 四、异面直线所成的角 求异面直线所成角的一般步骤是： 根据定义作出 或找出两异面直线所成的角； 使该角为某个三角形的 内角； 解这个三角 形从而求角 其中通过平移法作出 其所成角是关键 ， 解答相关题目时要谨记异面直线所成 角的取值范围千万不要把相交直线所成的钝角作为异 面直线所成的角若求出的是钝角 ， 应取它的补角作为 异面直线所成的角 题型 1 空间两条直线的位置关系 典例 1 给出下列命题： 若两条直线 都和第三条直线平行，则这两条直线 平行； 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； 垂直于同一直线的两直线相互平行； 分别和两条异面直线均相交的两条直线一定是异 面直线 其中正确的命题是 _ _( 填序号 ) 分析： 本题主要涉及了空间两条直线位置关系的判 定 ， 关键是理解概念 ， 尤其异面直线是指 “ 不同在任何一 个平面内的两条直线 ” ， 即经过这两条直线作不出 一个能 包含它们的平面 解析： 根据公理 4 ， 知 正确； 分别在两 个平面 内的两条直线平行、相交或异面都有可能 ，故 不正确； 垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面都有可能 ， 故 不正确； 分别和两条异面直线均相交的两条直线也 可能相交 ，故 不正确 答案： 规律总结 解决这类立体几何的命题的真假判定方法 ， (1) 要熟 练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理； (2) 要善于 寻找特例 ， 构造相关模型 ， 特例模型能快速、有效地排除 相关的选择项 变式训练 1. 如图所示 ， 在长方体 AB C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 判断下列直线的位置关系： 直线 A 1 B 与直线 D 1 C 的位置关系是 _ _ ； 直线 A 1 B 与直线 B 1 C 的位置关系是 _ _ ； 直线 D 1 D 与直线 D 1 C 的位置关系是 _ _ ； 直线 AB 与直线 B 1 C 的位置关系是 _ 解析： 由图可知 ， 直线 D 1 D 与直线 D 1 C 相交于点 D 1 ， 所以 应该填相交；直线 A 1 B 与直线 D 1 C 在平面 A 1 B CD 1 内 ， 且没有交点 ， 则两直线平行 ， 所以 应该填平行；点 A 1 ， B ， B 1 在平面 A 1 BB 1 内 ， 而点 C 不在平面 A 1 BB 1 内 ， 则直线 A 1 B 与直线 B 1 C 异面 ， 同理 ， 直线 AB 与直线 B 1 C 异面 ， 所以 应该填异面 答案： 平行 异面 相交 异面 题型 2 等角定理的应用 典例 2 如图所示 ， 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E ， F ， E 1 ， F 1 分别为棱 AD ， AB ， B 1 C 1 ， C 1 D 1 的中点求证： EA 1 F E 1 CF 1 . 证明： 如图所示 ， 在正方体 AB CD - A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 取 A 1 B 1 的中点 M ， 连接 BM ， F 1 M . 由题意得 BF A 1 M 1 2 AB . 又 BF A 1 M ， 所以四边形 A 1 FBM 为平行四边形 所以 A 1 F BM . 又 F 1 ， M 分别为 C 1 D 1 ， A 1 B 1 的中点 ， 则 F 1 M 綊 C 1 B 1 . 而 C 1 B 1 綊 BC ， 所以 F 1 M 綊 BC . 所以四边形 F 1 MBC 为平行四边形 所以 BM F 1 C . 又 BM A 1 F ， 所以 A 1 F F 1 C . 同理 A 1 E CE 1 . 所以 EA 1 F 与 E 1 CF 1 的两边分别平行 ， 且方向都 相反 ， 所以 EA 1 F E 1 CF 1 . 规律总结 1 证明两个角相等常用以下三种方法： (1) 三角形相 似； (2) 三角形全等； (3) 等角定理 2 依据等角定理证明两角相等的步骤： 证明两个 角的两边分别平行； 证明两 个角的两边的方向都相同或 者都相反 变式训练 2 已知 E ， E 1 分别为正方体 A BC D - A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 AD ， A 1 D 1 的中点求证： C 1 E 1 B 1 CEB . 证明： 如图所示 ， 连接 EE 1 ， 由 E 1 ， E 分别为 A 1 D 1 ， AD 的中点 ， 知 A 1 E 1 与 AE 平行且相等 ， 故 A 1 AEE 1 为平 行四边形 ， 即 A 1 A 与 E 1 E 平行且相等 又 A 1 A 与 B 1 B 平行且相等 ， 得 E 1 E 与 B 1 B 平行且相 等 ， 故四边形 B 1 BEE 1 是平行四边形于是 E 1 B 1 EB . 同理 ， E 1 C 1 EC . 又 C 1 E 1 B 1 与 CEB 的方向都相同 ， 所以 C 1 E 1 B 1 CEB . 题型 3 求异面直线所成的角 典例 3 如图所示 ， 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 求下列异面直线所成的角 (1) AA 1 与 BC ； (2) DD 1 与 A 1 B ； (3) A 1 B 与 AC . 解： (1 ) 因为 ABC D - A 1 B 1 C 1 D 1 为正方体 ， 所以 AA 1 BB 1 . 又 BB 1 BC ， 所以 AA 1 BC . 所以 AA 1 与 BC 所成的角为 90 . (2) 因为 DD 1 A 1 A ， 在正方形 A 1 A BB 1 中 ， BA 1 A 45 ， 所以 DD 1 与 A 1 B 所成 的角为 45 . (3) 连接 A 1 C 1 ， BC 1 . 因为 A 1 A 綊 C 1 C ， 所以 A 1 C 1 AC . 所以 BA 1 C 1 即 A 1 B 与 AC 所成的角 在 A 1 BC 1 中 ， A 1 B BC 1 A 1 C 1 ， 所以 BA 1 C 1 60 . 故 A 1 B 与 AC 所成的角为 60 . 规律总结 求两条异面直线所成的角的步骤： 1 构造：选择适当的点 ， 平移异面直线中的一条或 两条 ， 构造相交直线 ， 这里的点通常选 择特殊位置的点 ， 如线段的端点或中点 2 证明： 证明作出的角就是要求的角 3 计算：求角度 ， 常利用解三角形求角度 4 结论：若求出的角是锐角或直角 ， 则它就是异面 直线所成的角；若求出的角是钝角 ， 则它就是异面直线所 成的角的补角 变式训练 3. 如图所示 ， P 是平面 ABC 外一点 ， PA 4 ， BC 2 5 ， D ， E 分别为 PC 和 AB 的中点 ， 且 DE 3. 求异面直线 PA 和 BC 所成角的大小 解： 如图所示 ， 取 AC 的中点 F ， 连接 DF ， EF ， 在 P AC 中 ， 因为 D 是 PC 的中点 ， F 是 AC 的中点 ， 所以 DF PA ， 同理可得 EF BC . 所以 DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角 ( 或其补 角 ) 在 DEF 中 ， DE 3 ， 又 DF 1 2 PA 2 ， EF 1 2 BC 5 ， 所以 DE 2 DF 2 EF 2 . 所以 DFE 90 ， 即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90 .