椭圆基础题型

§2.11椭圆及其标准方程典例剖析题型一椭圆的定义应用例1：椭I = 有一点P,它到椭圆的左焦点斤的距离対X求、PF的而秩 J100 361又coBPF卩时+1昭宀叽皿jW：由椭圆的定义.IPI+IPE 1=2(3=20,所 M|P佗 |=122x|Pf； |x|PE |血令吩孚则冷皿皿乎乜皿评析：点P在椭圆上这个条件的转化常有两种方法：一是点P椭圆的定义，二是点P满足椭圆的方程, 应该认真领会椭圆定义题型二椭圆标准方程的求法例2：己知椭圆的两个焦点为(-2, 0), (2,0)且过点(|,-|),求椭圆的标准方程解法】因为椭圆的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为召+殊】(3>b>0), 由椭圆的定义可知：2a = (| + 2)2 + (-|-0)2 + (|-2)3 + (-|-0)2 =210.，屈又c = 2,b所以所求的标准方程为器解法 2 vc = 2,/.b2 = a2-c2 = a2-4 ,所以可设所求的方程为苗土J将点(|,-|)代人解得:9*>5 所以所求的标准方程为泊汁】评析 求椭圆的标准方程总结有两种方法：其一是由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是先确定标准方程的类型，并将其用有关参数仏b表示出来然后结合条件建立a,b所满足的等式，求 得a,b的值，再代人方程 例3：设点P是圆x2 + y2 = 4上的任一点，定点D的坐标为(8, 0),若点M满足PM = 2MDD当点P 在圆上运动时，求点M的轨迹方程.解 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(,%),由丽=2五，得（x-Xo，y-yo）=2（8-x,-y）,即 x0=3x-16 , y°=3y.因为点 P（XQ,y0）在圆 xr + y2 = 4±,所以 Xq2 + y02 = 4 .即（3x-16+（3y=4 ,即（x-兰+Y2二纟，这就是动点M的轨迹方程.I 3丿9评析 本题中的点M与点P相关，我们得到=3x-16, y0 = 3y是关键，利用点P在* +戸=4上 的条件，进而便求得点M的轨迹方程，此法称为代人法.点击双基1、.中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4,短轴长为2,则椭圆方程是（C ）C.三+yl D.宀匚144A2若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18, 一个焦点的坐标是（3, 0）,则椭圆的标准方B 乂+巴=1 C 夕+竺=1 D 三= 1251616251693 与椭圆9/+4卡二36有相同焦点，且短轴长为4亦的椭圆方程是（B ）25202025壬匚120450 >80854、椭圆5x3+ky2 =5的一个焦点坐标是（0,2）,那么k= 15、椭圆的焦点为耳（0厂5）卫（0,5）,点P（3,4）是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为解：焦点为耳（0,-5）,Fr（0,5）,可设椭圆方程为季+ = 1;点P孙在椭圆上，算+J= 12 = 40,a- a-25a- a-25所以椭圆方程为+-=14015课外作业一、选择题1. 己知椭圆+ = 1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为（D ）2516A 2B 3C 5 D 72. 若椭圆的两焦点为（一2, 0）和（2, 0）,且椭圆过点（|-|），则椭圆方程是（D ）A. 21 +兰B. £+3L=i C. *+兰=1 D.兰+工_184106481063. 若方程Aky2-2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为A. (0, +8) B. (0, 2)C. (1, +oo)D. (0, 1)4. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为（C ）A.兰+ 乂“ B. 2L+zi = i c. 2Ei+r = 1 或工+兰=1 D.以上都不对9162516251616255. 椭圆的两个焦点是Fi（-1, 0）, F2（l, 0）, P为椭圆上一点,且|FiF?|是|PFi|与|PF2|的等差中项，则该椭 圆方程是（C ）A乞+疋=1£兰+ *=i c兰+丄=1 D乞+疋=1169161243346. 椭圆mx2 + ny2 4-mn= O（m<n <0）的焦点坐标为（C ）A、（0,±Vm-n） B、（0,土Jm_n） C、（0,土Jn-m） D、（0±7n-m）7.己知ABC的顶点B、C在椭圆y+y2 = l上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在EC边上，则厶侶。的周长是（C）(A) 23(B) 6(C) 4远(D) 128.设定点冃（0, 一3）、F2 （0, 3）,动点P满足条件|PF| + |PF"+2（d>0）,则点P的轨迹是（A）aA.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段二、填空题9方程丄+乂 = 1表示焦点在y轴的椭圆时，实数m的取值范围是me （1,3） U（-3,-1）|m|-l210. 与椭圆4八+9丫2二36有相同的焦点，且过点（一3, 2）的椭圆方程为2L+zi = i.151011、如果M（x，y）在运动过程中，总满足关系式J/ + （y+3）?+Jx? + （y 3尸=10,则M的轨迹方程是1625三、解答题12. 将圆+上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原來的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.答案：兰+y2 = ,椭國4二、填空题10椭圆 + = 1的离心率为丄，则k的值为4咸-丄.k+8924解： 当 k + 89 时，e2 = - = k + 89 = i,k = 4 ； 当 k + 8v9 时，e2 = - = 9 k8 = ,k =- a- k + 84a-94411设AB是椭圆+算=1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则 lr解：设理爲,yJ,E3,%）,则中点M（鱼咅，冲釘，得一 一22X? _ 刍koM = y? + Y1， koM = y - b2V+a2Yi3 = a2b2, b2x< + a2y? = a2b2,得 b"x/ - v）+ a2（y< -yf） = 0, x, + >qxf _ 齐_-即Xo" -a"题型一直线与椭圆例1已知椭圆C的焦点Fi （-2V2 , 0）和F2 （ 2V2 , 0）,长轴长6,设直线y =x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标.解：由己知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c二2血，a二3,从而21,所以其标准方程是： 2+y2=l.联立方程组 <&+"，消去 y 得，10x2 + 36x+27 = 0.y = x+ 2设 A（冯,yj, 8（花,力），AB 线段的中点为 M（Xo，yo）那么： + x2 = -,+=-525所以y严+2斗.也就是说线段AB中点坐标为（冷，|）.评析直线与椭圆的公共点、弦长、弦的中点问题常转化为对应方程联立的方程组的解得问题，进而转化为一元二次方程的问题.题型二 求椭圆弦长、中点、垂直、最值等问题例2 过椭回匸+乙"内一点D （I, 0）弓|动弦丽，求弦月3的中点M的轨迹方程94设刿（EJ,AB的中点M（心y）,则“=二土. 7=竺兰且虹：丰9昇=北4才+9儿36，# 4（兀一屯）（耐+比）+9饬一儿）（兀+儿）=0 ”一坯一 4也+心）4工卫比_” _心_丿 4*_ yF，x1-x2 9® +川一为乂壬-也一血一 Q"_x-1 '' 9厂 X-1即所求的轨迹方程为4（少+9/ =1评析“点差法”的要点是巧代斜率，与弦中点有关的问题有三类：平行弦的中点轨迹，过定点的 弦中点轨迹，过定点且被定点平分的弦的所在的直线方程°13. 直线y=kx+>/2与椭圆+y3=l交于不同两点A和B,且OAOB = 1 （其中O为坐标原点），求k3的值.解：将 y = kx+5/7代入二 + y，=1,得（1 + 3心）疋 + 6>/51«+3 = 0.3由直线与椭圆交于不同的两点，得1 + 3宀0,1L c°.即 1T > - = （6V2k）- 一 12（1 + 3k-） = 12（3k- 一 1）0.3设 A（xA,yA）,B（xB,yB）,贝ij.由 OA-OT = 1,得xA + yAyB = 1.而 Xa% + yAyB = xAxB + (kxA + VI)輕 + VI) = (k2 +l)xAxB + V2k(xA + xB) + 2解得k=±E.故k的值为土逅.33=(F+i)迴+2 =津于是害匚"1 + 31T1 + 31T3k+l3k- +1思悟小结1、在直线与椭圆的位置关系问题中，要注意弦长问题，垂直问题、中点弦问题等，解决的一般思路是 联立直线与椭圆的方程组，消去一个未知量，通过题意找到根与系数的关系，利用韦达定理列式求解。2、把椭圆方程汨汾“心。）与直线方程汴3联立消去y,整理成形如朋+ EX+C"的形式，对此一元二次方程有：（1） A>0,直线与椭圆有两个公共点P,Q,此时的弦长的求法：求两点P,Q的坐标，利用两点间的距离公式；由韦达定理得到弦长公式|PQ| =T7|xp-%|,涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不 求计算弦长。（2）A = 0,直线与椭圆有一个公共点，相切（3）A<0,直线与椭圆有无公共点，相离