第6讲无穷小量2009

数学分析I第6讲教案第6讲 无穷小量与无穷大量授课题目无穷小量与无穷大量教学内容1. 无穷小量与无穷大量的概念,2. 无穷小（大）量阶的比较，即高阶无穷小、同阶无穷小、等阶无穷小,3. 等阶无穷小的替换定理，4. 曲线的渐近线5. 函数极限的归结原理， 教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念，会对无穷小量与无穷大量进行比较；会利用等阶无穷小的替换定理计算某些极限；会求曲线的渐近线对于成绩较好的学生要求他们能理解函数极限的归结原理。教学重点及难点教学重点：无穷小量比较，等阶无穷小的替换定理；教学难点：无穷小量与无穷大量的阶数教学方法及教材处理提示(1) 要强调无穷小量是一个以零为极限的函数（变量），而不是一个很小很小的常数。(2)本讲的重点是等价无穷小量及其替换定理，着重讲授常见的等价无穷小量及其它们在极限计算中的应用(3)穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念是本讲的难点，要求较好的学生会熟练使用“ ”与“ ”进行运算作业布置作业内容：教材 :1（3,4），2(2,3)，4(3),5（2,3），9.讲授内容一、无穷小量 与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义定义1 设在某内有定义若，则称为当时的无穷小量 若函数g在某内有界，则称g为当时的有界量 类似地定义当以及时的无穷小量与有界量例如，与都是当时的无穷小量，是当时的无穷小量,而为时的无穷小量.又如时当时的有界量，是当时的有界量性质1两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量性质2无穷小量与有界量的乘积为无穷小量例如，当时，是无穷小量，为有界量，故由性质2即得，函数的图象如图3-6所示.显然推出如下结论:是当时的无穷小量.二、无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢为此，我们考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度作出判断设当时，与g均为无穷小量1若，则称当时为g的高阶无穷小量,或称g为的低阶无穷小量，记作 . 特别，为当时的无穷小量记作 .由于故有 2若存在正数K和L，使得在某上有则称与g为当时的同阶无穷小量特别当时，与g必为同阶无穷小量 例如，当时，与皆为无穷小量由于,所以与为当时的同阶无穷小量又如，当时，与都是无穷小量,由于它们之比的绝对值满足，所以与为当时的同阶无穷小量 3若，则称与时当时的等价无穷小量. 记作. 例如，故有又故有 以上讨论了两个无穷小量阶的比较但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较例如，当时，和都是无穷小量，但它们的比，当时不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较. 定理3.12 设函数在内有定义，且有.（1）若，则；（2）若，则.证：（1），（2）可类似地证明例1 求。解：由于，故有.例2 利用等价无穷小量代换求极限.解：由于，而，故有注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中，若因有，而推出，则得到的是错误的结果 三、无穷大量定义2设函数在某内有定义若对任给的，存在，使得当时，有，则称函数当时有非正常极限，记作.若换成“”或“”，则分别称当.时有非正常极限或记作: 或. 例3 证明 证：任给，要使，只要，因令则对一切，这就证明了 例4 证明：当时， 证：任给（妨设)，要使，由对数函数的严格增性，只要，因此令，则对一切有这就证得 注1 无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数如由例3知是当时的无穷大量，由例4知是当时的无穷大量 注2 若为时的无穷大量，则易见为上的无界函数但无界函数却不一定是无穷大量如在上无界，因对任给的取这里正整数，则有但 ，因若取数列则,而. 定理3.13 （i）设在内有定义且不等于0.若为时的无穷小量，则为时的无穷大量.（ii）若为时的无穷大量，则为时的无穷小量.四、曲线的渐近线由平面解析几何知道，双曲线有两条渐近线（图3-7）.渐近线定义如下：定义4：若曲线上的动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某定直线的距离趋于，则称直线为曲线的渐近线(图38) 下面我们讨论曲线在什么条件下存在斜渐近线与垂直渐近线，以及怎样求 出渐近线方程.现假设曲线有渐近线.如图38所示，曲线上动点到渐近线的距离为由渐近线的定义，当时，既有或，又由得到，由上面的讨论可知，函数有斜渐近线.若函数满足（或，）.则按渐近线的定义可知，曲线有垂直于轴的渐近线，称为垂直渐近线.例5 求曲线的渐近线.解：由 ，得.再由 ，得从而求得此曲线的斜渐近线方程为又由易见，所以此曲线有垂直渐近线和.五、函数极限归结原则定理3.8(归结原则，称为海涅(Heine)定理) 设在内有定义存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等注1 若可找到一个以为极限的，使不存在,或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在例1 证明极限不存在证：设则显然有故由归结原则即得结论 函数上的图象如图34所示，由图象可见，当时，其函数值无限次地在1与1的范围内振荡，而不趋于任何确定的数5