斯托克斯公式 环流量与旋度

斯托克斯公式 环流量与旋度一、斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面Y上的曲面积 与沿着丫的边界曲线r的曲线积分联系起来。我们首先介绍有向曲面丫的边界曲线r的正向的规定，然后陈述并证明斯托 克斯公式。卩的正问规定如下：当右手除拇指外的四指依F的正向绕行时，F匕二码大拇指丽旨的方向与Z上的法向量的指向:相同。【定理】设r为分段光滑的空间有向闭曲线，s是以r为边界的分片光滑的有向 曲面，r的正向与s的侧符合右手规则，函数P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）在包含曲面s在内的一个空间区域具有一阶连续偏导数，则有ORdQdPdRdQdPf（ 一 ）dydz + （ 一 ） dzdx + （ 一 ）dxdy = Pdx + Qdy + Rdz dydzOzOxOxdy(1)sr 公式（1）叫做斯托克斯公式。证：先假定S与平行于z轴的直线相不多于一点，并设S为曲面z - f（x，y）的上 狈g, s的正向边界曲线r在xoy面上的投影为平面有向曲线C，C所围成的闭区dzdx - dxdy OzOy化为闭区域Dxy上的二重积分，然后通过格林公式使它与曲线积分联系。 根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系，有dPdPdPdPdzdx- dxdy 二 JJ ( cosp cosy)dSdzdydzdy由第8.6节知道，有向曲面X的法向量的方向余弦为cos a =" xcos p =ycosy =+ f 2 + f 2J1 + f 2 + f 2J1 + f 2 + f 2xyxyxy因此cos卩dp cos y，把它代入(2)式得ffdPdPfffdP dP)JJ_dzdx-dxdy = JJI -一-f - cosydSdzdy(dzy dy丿- f - fI dzyX"敦沁-dxdy =-"用fy * 等cosy dSXXxcos P =y(3) 上式右端的曲面积分化为二重积分时，应把p(x，y，z)中的z用f(x，y)来代替，因 为由复合函数的微分法，有dd P dP P x, y, f (x, y) = + - f dydy dz y所以，(3)式可写成JJ dP dzdx - dP dxdy = - JJ2 P x, y, f (x, y) dxdydzdydyXDxyxy根据格林公式，上式右端的二重积分可化为沿闭区域Dxy的边界C的曲线积分 -JJ g P x, y, f (x, y)dxdy = J P x, y, f (x, y) dxdyDxy于是dPdPJJ dzdx - dxdy = J Px, y, f (x, y)dxdzdyXc因为函数Px，y，/(x，y)在曲线c上点(x，y)处的值与函数P(x，y，z)在曲线r上 对应点(兀y，z)处的值是一样的，并且两曲线上的对应小弧段在x轴上的投影也 是一样，根据曲线积分的定义，上式右端的曲线积分等于曲线r上的曲线积分吟dx-|dxdy = J p(Xr/粗y,吨，因此，我们证得x, y, z)dx如果X取下侧，r也相应地改成相反的方向，那末(4)式两端同时改变符号, 因此(4)式仍成立。其次，如果曲面与平行于z轴的直线的交点多于一个，则可作辅助曲线把曲 面分成几部分，然后应用公式(4)并相加。因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消，所以对于这一类曲面公式(4)也成立。同样可证y, z )dzJJ dQ dxdy - dQ dydz = J Q (x, y, z )dy dxdzXr把它们与公式(4)相加即得公式(1)。JJ dR dydz -dRdzdx 二 dydx为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式(1)写成dydzJJ AdzdxddxdyddxPdyQdzRJ Pdx + Qdy + RdzrdRd把其中的行列式按第一行展开dQ把 与r的“积”理解为级,比与q的“积”理解为 dz 等等，于是这个行列式就“等于”dRdQdPdRdQdP( 一 )dydz + ( 一)dzdx + (一 ) dxdydydzdzdxdxdy这恰好是公式(1)左端的被积表达式。利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式cos adcos卩dcos 丫ddxPdyQdzR=J Pdx + Qdy + RdzrX其中n= cosa，cos卩,cos y 为有向曲面X的单位法向量。如果X是xoy面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。因此, 格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。【例 1】利用斯托克斯公式计算曲线积分I 二 J (y2 - z2)dx + (z2 - x2)dy + (x2 - y2)dzr3x + y + z 其中r是用平面2截立方体：° < x <1，0 -y -1，0 <z <1的表面所得截痕，若从ox轴的正向看去，取逆时针方向。r(a)图 10-28(b)3x + y + z =解：取E为平面2的上侧被r所围成的部分，S的单位法向量31,1,1，即cos a = cos P = cos y=1=耳按斯托克斯公式，有dxy 2 - z2dS2 J! (x + y + z )dS v'323，故x + y + z = 因为在2上，2I =-上-JJ dS = -2、込 JR 3dxdy = -& J32xy其中D2Dxyxy为2在xOy平面上的投影区域，& xy为Dxy的面积，因此 13b = 1 2 x =xy84故I =-2 *二、空间曲线积分与路径无关的条件在第 10.3 节，利用格林公式推得了平面曲线积分与路径无关的条件。完全 关似地，利用斯托克斯公式，可推得空间曲线积分与路径无关的条件。首先我们指出，空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为 零。关于空间曲线积分在什么条件下与路径无关的问题，有以下结论：【定理】设空间开区域G是一维单连通域，函数P、Q、R在G内具有一阶连 续偏导数，则空间曲线积分'r"" + Qdy + Rdz在G内与路径无关（或沿G任意闭 曲线的曲线积分为零）的充分条件是等式OP _ QQ QQ _ OR dR _ dPQy Qx , Qz Qy , Qx dz(5)在G内恒成立。证：如果等式(5)在G内恒成立，则由斯托克斯公式立即可看出，沿闭曲线的 曲线积分为零，因此条件是充分的。反之，设沿G内任意闭曲线的曲线积分为零,QPQQ若G内有一点M0使(5)式中的三个等式不完全成立，例如瓦*瓦。不妨假定过点 Mo( xo,y o,z o)作 z _q > 0z0 ，并在这个平面上取一个以M0为圆心,半径足够小的圆形区域K，使得在K上恒有QQQPqQxQy2因为在K上z _ zo而d _ 0，于是由(1)式有J Pdx + Qdy + Rdz _ ff f 翌竺dxdy > ql Qx Qy 丿2YK设丫是k的正向边界曲线，o是k的面积，因为q>0，o > 0 ，从而卜 Pdx + Qdy + Rdz > 0Y这结果与所设不合，从而(5)式在G内恒成立。应用上述定理并仿照第10.3节定理3的证法，便可以得到【定理】设区域G是空间一维单连通区域，函数P、Q、R在G内具有一阶连 续偏导数，则表达式Pdx+Qdy+Rdz在G内成为某一函数u(x，y，z)的全微分的充 分必要条件是等式(5)在G内恒成立；当条件(5)满足时，这函数(不计一常数之 差)可用下式求出:u(x, y, z) _ J(xy5 z)Pdx + Qdy + Rdz(x0,y0,z0)(6)Jz R(x, y, z) dzz0u (x, y, z) = Jx P(x, y , z ) dx + Jy Q(x, y, z ) dy +x00y000其中Mo(xo,yo,z。)为G内某一定点，点M(兀y,z) G G。三、环流量与旋度设斯托克斯公式中的有向曲面e上点(x，y,z)处的单位法向量为PPPPn = cos a i + cosp- j + cos y -k而e的正向边界曲线r上点(x，y,z)处的单位切向量为P . p p P t = cos 入 i + cos 卩 j + cos v k则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分表示为 JJ QRQQQPQRQQQPJJ (- )cosa + (-)cosp + (-)cosydSQyQzQzQxQxQy(7)=J (P cos 九 + Q cos p + R cos v) dsr设有向量场PPPPA(x,y,z)=P(x,y,z)i +Q(x,y,z)j+R(x,y,z)kQQOPOxQyP在坐标轴上的投影为QR QQqp qrQyQz， QzQx，的向量叫做向量场A的旋度，记作rotA，即P QRQQP QPQRP QQQP(8)rot A = (-) - i + (-) - / + (-)-QyQz QzQx QxQy现在，斯托克斯公式可写成向量的形式JJ rot A - £dS = J A - F dsEQP)cos yQx Qy其中/ P、 P P RR QQ、 RP OP、 c QQ (rot A) = rot A - n = (-) cos a + (-) cos P + (nQyQzQz QxP为rotA在E的法向量上的投影，而P BA = A -1 = P cos 九 + Q cos p + R cos v 为向量a在r的切向量上的投影。沿有向闭曲线r的曲线积分+ R cos v ds = J A dstJ Pdx + Qdy + Rdz = J P cos 九 + Q cos prrr叫做向量场A沿有向闭曲线r的环流量。P斯托克斯公式(9)现在可叙述为：向量场A沿有向闭曲线r的环流量等于向 P量场A的旋度场通过r所张的曲面e的通量，这里r的正向与e的侧应符合右手 规则。为了便于记忆，rotA的表达式(8)可利用行列式记号形式地表示为rj最后，我们从力学角度来对rot A的含义作些解释。设有刚体绕定轴L转动，角速度为®，M为刚体内任意一点。在定轴L上任 取一点0为坐标原点，作空间直角坐标系，使z轴与定轴L重合，则® = ®k，而 点m可用向量卩=0M =x，y，z来确定。由力学知道，点m的线速度C可表示v?=gx r。由此有r= - w y, wx, 0 Qywx= 0, 0, 2w = 2w-wyP iQQx*四、向量微分算子引进一些特有的微分算子运算，可以使复杂的高斯公式和斯托克斯公式被表 示得更简明。向量微分算子V定义为Qr Q r Q rV = i + j + kQx Qy Qz ，它称为哈密顿算子，运用向量微分算子，我们有、设u 二u(x y，z)，则du P du P Qu P v u i + j + k grad udxdydzv2-V-Vu-V-grad u-旦 + 乜 + 巴 Audx2 dy2 dz 2d 2 d 2 d 2A +其中 dx2 dy2 dz2 ，称为拉普拉斯算子。PPPP、设A P(x,y,z)i + Q(X,y,z) j + R(x,y,z)k，则v-1 (?P+? j+fk) - (Pp+ Q j + Rp) dx dydzP P kdPdQdR+ + dxdydz div AVx A-ddxdyQddzR rot AP现在，高斯公式和斯托克斯公式可分别写成BIv- Adv - JJ A dSndS J A dst