3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件3

2022-11-171第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换 3.1.1 3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 数学组数学组 曲文瑞曲文瑞 2022-11-172ACDB45456730 x2022-11-173某城市的电视发射塔建在市郊某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上的一座小山上.如图所示如图所示,小山高小山高BC约为约为30米米,在地平面上有一在地平面上有一点点A,测得测得A、C两点间距离约为两点间距离约为67米米,从从A观测电视发射塔的视观测电视发射塔的视角角(CAD)约为约为45.求这座电求这座电视发射塔的高度视发射塔的高度.ABCD306745章头图给出的问题章头图给出的问题2022-11-17430sin,67设电视发射塔高设电视发射塔高x米，米，CAB则则在直角三角形在直角三角形ABD中，中，tan3030)45tan(x得得于是，于是，解方程解方程30tan)45tan(30 xABCD306745x因此因此,求发射塔的高度只需求求发射塔的高度只需求的值。)45tan(tan3030tan ABAB即即2022-11-1753.1.1 3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 如何用任意角如何用任意角,的正弦、余弦值的正弦、余弦值 来来表示表示cos(-)cos(-)呢？呢？探探究究问题问题1:1:你你认为认为cos(cos(-)=cos)=cos-coscos成立吗成立吗?第一步：探求表示结果第一步：探求表示结果探究探究过程过程第二步：对结果的正确性加以证明第二步：对结果的正确性加以证明 .23216cos3coscoscos236cos)63cos(cos63 而而，则则、设设cos(cos()究竟可究竟可以表示成什么样子？以表示成什么样子？猜想：猜想：?=)-c co os s(问题问题2:2:你认为你认为cos(cos(-)=cos)=coscos+sincos+sinsinsin成立吗成立吗?2022-11-176在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单的终边与单位圆的交点为位圆的交点为 ，等于角等于角 与单位圆交点的横坐与单位圆交点的横坐标，也可以用角标，也可以用角 的余弦线来表示的余弦线来表示大家思考：怎样构造角大家思考：怎样构造角 和和 角？（注意：要与角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来它们的正弦线、余弦线联系起来.）探究过程：探究过程：1Pcos yOxP P1 1M2022-11-177尝试探索：尝试探索：Oxy作角作角P1 PP1 1O Ox x=，PPOPPOP1 1=，则则POPOx x=-2022-11-178Oxy作角作角PPOPPOP1 1=，则则POPOx x=-找线找线P1PP1 1O Ox x=，尝试探索：尝试探索：cos(cos(-)C Cososcos sincos sinsinsinAPAOPPAOP1 1BABxABx轴轴PAB=PPAB=P1 1O Ox x=PCABPCABC C PCPCOBOB C CososOA sinOA sinAPAPBMBMOB+BMMOMOMPMOPMOX X+=2022-11-179OxyP1PM MAB BC C即即:以上以上结果为结果为、-均为均为锐角，且锐角，且的情况下得到的，的情况下得到的，此式是否对任意角都成立呢？此式是否对任意角都成立呢？cos(cos(-)=cos)=coscos+sincos+sinsinsin 思考？思考？2022-11-1710探究探究2 2对任意对任意,，如何证明它的正确性？，如何证明它的正确性？cos(cos(-)=cos)=coscos+sincos+sinsinsin于是于是OA=(cosOA=(cos,sin,sin),),怎样用向量数量积的运算怎样用向量数量积的运算和定义得到结果？和定义得到结果？OB=(cos,sin)OB=(cos,sin)结合图形，思考应选用哪几个向量？结合图形，思考应选用哪几个向量？yOxA AB B看能否用向量的知识进行证明？看能否用向量的知识进行证明？结合向量的数量积的定义和向量的工具性，结合向量的数量积的定义和向量的工具性，以上推导是否有不严谨之处？以上推导是否有不严谨之处？若有，请作出补充。若有，请作出补充。2022-11-1711称为差角的余弦公式。称为差角的余弦公式。于是，对于任意角于是，对于任意角，都有都有cos(-)=coscos+sinsin 当当-为任意角时，由诱导公式，总可以找为任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角到一个角 0,20,2),),使使coscos=cos(cos(-)简记为简记为C C(-)则则OAOAOBOB=cos(2cos(2-)=cos=cos(-)yyOxA AB B若若 0,0,则则OAOAOB=cosOB=cos=cos(cos(-)2 2-则则2 2-(0,(0,）若若(,2,2）,OxB BA2022-11-1712cos(-)=coscos+sinsin观察：公式有何特征？如何观察：公式有何特征？如何记忆？记忆？.公式的结构特征公式的结构特征:左边是差角左边是差角 的余弦的余弦,右边单角右边单角、的余弦积与正弦积的和的余弦积与正弦积的和,即即同名同名三角函数三角函数积积的的和和.2.差角差角余弦：余弦：符号不同积同名符号不同积同名cos(-)=coscos+sinsin 谐音记忆为谐音记忆为:烤烤晒晒符号反烤烤晒晒符号反 2022-11-1713应用分析：怎样把分析：怎样把1515表示成两个特殊角的差？表示成两个特殊角的差？30sin45sin30cos45cos42621222322)3045cos(15cos解法1:例例1.利用利用差角余弦公式求差角余弦公式求cos15的值的值.2022-11-1714coscoscoscos45sin60 sin451232222262.4 （2 2）1515（60-4560-45）=60=60变式1:求求sin75的值的值.思考思考?你还会求哪些非特殊角的余弦呢你还会求哪些非特殊角的余弦呢?cos75、cos105、cos(-15)、cos165的值。的值。解法解法22022-11-1715应用公式公式的逆用的逆用coscoscoscos+sinsinsin=cos(sin=cos(-)变式2：(1).求求求求cos27 cos12 +sin27 sin12的值的值.(2).求求cosxcos(x+15 )+sinx sin(x+15 )的值的值.426(3).求求 的值的值.15sin2315cos21222022-11-1716应用解:由sin ,(,),得542 分析分析:由由C C-和本题的条件，要计算和本题的条件，要计算cos(-),cos(-),还应求什么？还应求什么？53541sin1cos22又由cos=，是第三象限的角，得135-13121351cos1sin22所以cos(-)coscos+sinsin653313125413553 已知已知sin ,(,),cos=-,是是第三象限角，求第三象限角，求cos(-)的值。的值。542 135例例2.2022-11-1717 已知已知sin ,(,),cos=-,是是第三象限角，求第三象限角，求cos(-)的值。的值。542 135例例2.变式变式1:如果去掉条件如果去掉条件 ，对结果和求，对结果和求 解过程会有什么影响？解过程会有什么影响？),2(要求正确使用要求正确使用分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法，在表述上也有了更高的要求在表述上也有了更高的要求2022-11-17183).233 32 2、已已知知cos=cos=，2 2，求求cos(cos(5 5解：解：223cos2sin1cos1cos()coscossinsin333132234 3.10 3 3=，2 25 53434555534345555巩固练习巩固练习:2022-11-171934coscossinsin.5,5,求cos-的值变式变式3:以知以知变式变式2：已知cos=，cos（）=，0 ,求求cos的值。的值。31542()思考思考?若将若将cos（）改为）改为cos（+）呢）呢?注注:公式能够正用公式能够正用,逆用逆用,变形用变形用.).cos()2()1(:22构造出分析2022-11-1720小结小结cos(-)=coscos+sinsin差角的余弦公式差角的余弦公式,简记为简记为C(-)a.这节课我学到了什么知识？这节课我学到了什么知识？b b.在公式应用过程中应该注意什么问题？在公式应用过程中应该注意什么问题？c.这节课我学到了哪些数学思想方法？这节课我学到了哪些数学思想方法？作业本2022-11-1721思考题？思考题？你能利用你能利用coscos()的公式继续探究的公式继续探究 的其它三角函数公式吗？如的其它三角函数公式吗？如?=)s si in n(?=)c co os s(?.)tan(2022-11-1722