医学统计学：09 二项分布及其应用

1魏永越讲稿从一个例子开始n请回答以下三个问题：n(1)第一个发现正态分布规律的人是：qA：高斯 B：棣莫佛2魏永越讲稿To Ques(1):n正态分布最早由棣莫佛于1730年在求二项分布的渐近公式时得到；后拉普拉斯于1812年研究极限定理时也被引入；高斯（Gauss）则于1809年在研究误差理论时也导出了它。高斯分布的函数图象是一条位于x轴上方呈钟形的曲线，称为高斯分布曲线，简称高斯曲线。3魏永越讲稿Ques(2):n(2)：右图是剑桥大学剑桥大学冈维尔与凯斯学院宴会厅里的染色玻璃窗。该设计是为了纪念谁？qA：罗纳德费雪(Ronald Aylmer Fisher)qB：琼斯韦恩(John Venn)剑桥大学冈维尔与凯斯学院宴会厅里的染色玻璃窗 4魏永越讲稿Ques(3):n(2)明年上半年的房价是涨还是跌？qA：涨qB：跌5魏永越讲稿Back to the point:n假设某同学对这三个问题都不清楚，则：q全部答错的几率有多大？q仅答对一题的几率有多大？q答对两题的几率有多大？q全部答对的几率有多大？6魏永越讲稿主要内容n二项分布的概率及定义n二项分布的性质n二项分布的应用q率的抽样误差q率的区间估计q两个样本率的比较q样本率与总体率的比较7魏永越讲稿二项分布的概念 二项分布溯源nBernoulli试验(Jakob Bernoulli)nn次重复独立的贝努利试验，出现k次成功的概率分布16%21%19%14%共3题答 对 0 1 2 3 题8魏永越讲稿所有可能结果每种结果的概率 死亡数 生存数不同死亡数的概率甲 乙 丙 n-生 生 生0.20.20.2030.008生 生 死 0.20.20.8生 死 生0.20.80.2120.096死 生 生0.80.20.2生 死 死0.20.80.8死 生 死0.80.20.8210.384死 死 生0.80.80.2死 死 死0.80.80.8300.51211.000(1)Xn XXnC 三只小白鼠存亡的排列和组合方式及其概率的计算(1)n XX *已知每只小鼠被注射毒素，其死亡概率为80%。9魏永越讲稿二项分布的概率n设事件A出现的概率为。则在n次独立试验中，事件A恰好出现 k 次q即n次试验，有k次发生A事件，n-k次没有发生A事件()(1)kkn knP XkC XB(n,p)10魏永越讲稿二项分布的概率（2）n对于n次试验，A事件的发生次数可能是：0次、1次、2次最多n次。011110(1)(1)(1)(1)(1)(1)1nnkkn knnnnnCn(0.2+0.8)3 =0.23 +30.220.8 +30.20.82 +0.83生存概率死亡概率 三生二生一死一生二死 三死11魏永越讲稿累计概率P(Xk)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=k)P(Xk)=P(X=k)+P(X=k+1)+P(X=n)P(Xk)=1 P(Xk+1)12魏永越讲稿2.1 二项分布的均数和方差如果XB(n,p)，则：的均数：的均数：的方差：的方差：的标准差：的标准差：2(1)(1)XXXnnn 13魏永越讲稿2.2 二项分布的图形X 4 8 12 16 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 n=20 =0.5 P(X)0 2 4 n=5 =0.3 0 2 4 6 n=10 =0.3 4 8 12 16 n=30 =0.3 14魏永越讲稿3.1 率的抽样误差=0.3011000111 p=0.4215魏永越讲稿率的抽样误差(续)0.30.42P 0.24P 0.28P 0.33P 0.31P 16魏永越讲稿2.3 率的抽样分布及其性质n在n足够大时，样本率 p 的分布近似正态分布。n率的均数和方差XB(n,)，p=X/n样本率样本率p的均数为的均数为 17魏永越讲稿率的抽样误差(续)n率的抽样误差大小的衡量指标np)1(nppsp)1(样本标准误样本标准误理论标准误理论标准误18魏永越讲稿率的抽样误差(概念)n由于总体中个体变异的存在，在抽样过程中产生的n样本率与总体率的差异n或n样本率间的差异 n称为率的抽样误差。19魏永越讲稿3.2 率的可信区间估计=?n,Xp=X/n20魏永越讲稿n 较大时,可用正态近似法：n率的 95%的CI:n例6.2 n=144,X=13:p=13/144=0.0903,sp=0.0239 0.09031.960.0239=(0.0435,0.1371)(4.35%,13.71%)(1.96,1.96)pppsps21魏永越讲稿n 较小时,查表法(直接计算概率法)nn=25,X=3。p=12%.sp=0.065n若采用正态近似法，得到(-0.7%,24.74%)?若采用查表法：得到(2.5%,31.2%)22魏永越讲稿n 较大时两率差可信区间n 12112212(1)(1)ppppppsnn 23魏永越讲稿率的可信区间的不对称性 10%20%30%50%n10 045 356 7651981n20 132 64412542773n30 227 83915493169n40 324 93517473466n50 32210341845366524魏永越讲稿率的可信区间的性质n只有=0.5时是对称的；nn越大，区间越窄；n对同一n，越接近0.5，分布越宽，越接近0或1，分布越窄；Why？25魏永越讲稿样本率与总体率的比较(n 较大时)n例6.2 q总体率 0=20%(一般胃溃疡患者出血率);q样本率n=304,p=31.6%(一般胃溃疡患者出血率).双侧检验 单侧检验H0:=0 H0:=0 H1:0 H1:0 =0.05u0.05(双侧)=1.96 u0.05(单侧)=？15.06ppus 26魏永越讲稿样本率与总体率的比较(n 较小时)n例6.4 0=0.01，p1=1/400，H0:1=0;H1:1 0.=0.05(单侧)P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=0.99400+4000.994000.01 =0.0905 (直接计算概率法)按0.05水准，不拒绝H0，尚不能认为该地新生儿染色体异常率低与一般新生儿。该地区新生儿染色体异常是否与一般人群不同？27魏永越讲稿样本率与总体率的比较(n 较小时)n例6.4 0=0.01，p1=1/400，H0:1=0;H1:1 0.=0.05(双侧)P=？该地区新生儿染色体异常是否低于一般人群？28魏永越讲稿直接计算概率法n假设检验的P是指：从H0总体中抽样，获得现有差别及更大差别样本的概率。n现有差别多大？q期望染色体异常人数：400*1%=4，q实际染色体异常人数：1q现有差别为3，q考虑双侧检验，所以现有差别及更大差别为qX (4-3)or X (4+3)P(X1 or X7)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5)-P(X=6)29魏永越讲稿两样本率的比较(n 较大时)n例6.5 n1=53,X1=43;p1=81.13%;n2=56,X2=40;p2=71.43%.H0:1=2;H1:12,=0.05 1212ppppus 30魏永越讲稿1212121211(1)()0.81130.71431.188110.7615(10.7615)()5356ppccppsppnnppus 因为u0.05=1.96，故按0.05水准，不拒绝H0，故尚不能认为两组有效率不同。这里的率差标准误为什么与前面提到的（P82）不同？31魏永越讲稿二项分布的应用条件n各观察单位的观察结果只能是相互对立的两种结果之一；n某事件出现的概率不变；nn次试验条件相同，n个观察对象同质，且相互之间不影响(例如，无传染性、聚集性等)。32魏永越讲稿思考：n可信区间与假设检验有什么联系？q均数的可信区间估计q样本均数与总体均数的比较q率的可信区间估计q样本率与总体率的比较33