概率论第三章习题及答案.ppt

习 题 课 第三章 多维 随机变量及其分布 1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布 第三章 多维随机变量及其分布 1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。 2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分 布的关系，了解条件分布。 3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。 4 要理解随机变量的独立性。 5 要会求二维随机变量的和及多维随机变量的最 值分布和函数的分布。 第三章 习题课 返回主目录 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S=e， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机 向量，或 二维随机变量 。 S e X(e) Y(e) 1 二维随机变量的定义 返回主目录 第三章 习题课 注 意 事 项 我们应把二维随机变量)1( SeeYeXYX ， 系的； 之间是有联与看作一个整体，因为 YX 作平面上的随机点 可看，量在几何上，二维随机变 YX)2( 返回主目录 第三章 习题课 ，实数 则对于任意一对是一个二维随机变量，设 yx YX .的分布函数，变量 为二维随机的函数我们称此函数，是 YX yx yYxXPyxF ， 2 二维随机变量的联合分布函数的定义 返回主目录 第三章 习题课 二维分布函数的几何意义 概率 点的无穷矩形中的 为右上顶， 落在以，点 表示平面上的随机 ，意义是： 二维分布函数的几何 yx YX yxF y o (X, Y ) 返回主目录 x ),( yx yYxXPyxF ， 第三章 习题课 一个重要的公式 ，设： 2121 yyxx 则 2121 yYyxXxP ， 1222 yxFyxF ， 1121 yxFyxF ， y x o x1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2) (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1) 第三章 习题课 分布函数具有以下的基本性质： F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y, 当 x1< x2时， 对于任意固定的 x, 当 y10, 则称 | ji yYxXP 为在 Y= yj 条件下随机变量 X 的 条件分布律 。 条件分布律 具有分布律的以下特性： 10 P X= xi |Y= yj 0； 1 1 1 0 .11|2 i j j i i ij jj ij ji p pp pp pyYxXP 返回主目录 , j ji yYP yYxXP ,2,1, ipp j ij 第三章 习题课 定义： 给定 y，设对于任意固定的正数 ， Py0, 若对于任意实数 x，极限 , lim |lim 0 0 yYyP yYyxXP yYyxXP 存在，则称为在条件 Y= y下 X的 条件分布函数 ，写 成 P X x |Y= y ，或记为 返回主目录 8 条件分布函数和条件密度函数 )|(| yxF YX 第三章 习题课 , )( ),()|( | x Y YX duyf yufyxF . )( ),()|( | yf yxfyxf Y YX 在条件 Y= y下 X的条件分布函数 为 ： 时，当 0yf Y 数。的条件下的条件密度函在称为随机变量 yYX 第三章 习题课 ，其联合密度函数为是二维连续型随机变量，设 YX 的边缘密度函数为：又随机变量 X dyyxfxf X ， yxf ， 返回主目录 的边缘密度函数为：随机变量 Y dxyxfyf Y ， 第三章 习题课 为条件下的条件密度函数 的在时，可得随机变量则当 yYXyf Y 0 yf yxfyxf Y YX ， 返回主目录 为条件下的条件密度函数 的在时，可得随机变量当 xXYxf X 0 xf yxfxyf X XY ， 第三章 习题课 条件密度函数的性质 ，有对任意的性质 x 0yxf YX 1 dxyxf YX性质 返回主目录 是密度函数简言之， yxf YX 也有类似的性质对于条件密度函数 xyf XY 第三章 习题课 9 随机变量的独立性 是相互独立的随机变量，则称 ， ，有，的 如果对于任意的分布函数为随机变量 ，的分布函数为，又随机变量， 合分布函数为是二维随机变量，其联，设 YX yFxFyxF yx yFY xFXyxF YX YX Y X 返回主目录 第三章 习题课 ：相互独立，实际上是指与随机变量 YX.1 相互独立 与 ，随机事件，对于任意的 yYxX yx 返回主目录 第三章 习题课 相互独立，则与如果随机变量 YX.2 唯一确定与 可由其边缘分布函数，函数 的联合分布，二维随机变量 yFxF yxF YX YX 注 （ 1）离散型随机变量的独立性 ，其联合分布律为是二维离散型随机变量，设 YX jiij yYxXPp ， 的分布律为又随机变量 X ， 21ji ii xXPp ， 21i 的分布律为随机变量 Y jj yYPp ， 21j ji ，如果对于任意的 jiij ppp 是相互独立的随机变量，则称 YX 返回主目录 第三章 习题课 联合分布律 边缘分布律表以及 Y X 1 y 2 y j y i p 1 x 11 p 12 p j p 1 1 p 2 x 21 p 22 p j p 2 2 p i x 1i p 2i p ij p i p j p 1 p 2 p j p 返回主目录 第三章 习题课 （ 2）连续型随机变量的独立性 ，数为 ，其联合密度函是二维连续型随机变量，设 yxf YX 是相互独立的随机变量，则称 YX 须成立 必，的所有连续点，特别地，上式对 yxyxf ，的边缘密度函数为又随机变量 xfX X 有，如果对于几乎所有的 yx yfxfyxf YX， ，缘密度函数为 yf Y的边随机变量 Y 返回主目录 第三章 习题课 ”是指：，有的这里所谓的“对几乎所 yx 那些使得等式 yfxfyxf YX， 所成集合的“面积”为，不成立的全体点 0yx 返回主目录 第三章 习题课 注 (3)n维 随机变量的独立性 是相互独立的随机变量，则称 ， ，有，维实数组对于任意的 如果，的分布函数为 ，又随机变量，分布函数为 维随机变量，其联合是，设 n nXXXn n iX in n XXX xFxFxFxxxF xxxn nixF XxxxF nXXX n i 21 2121 21 21 21 21 21 返回主目录 第三章 习题课 n维 随机变量的独立性 也相互独立。， 个相互独立，则其中任意，若 kiii n XXX kXXX 21 21.1 2. 若 X,Y 独立， f(x),g(y) 是连续函数，则 f(X),g(Y) 也独立。 返回主目录 第三章 习题课 注 （ 1）连续型随机变量和的分布 返回主目录 的密度函数为，则，数为 的联合密度函，二维连续型随机变量设 YXZyxf YX dyyyzfzf Z ，或 dxxzxfzf Z ， 10 连续型随机变量函数的分布 第三章 习题课 相互独立，则有与特别地，如果随机变量 YX yfxfyxf YX， 此时，我们有 dxxzfxfzf YXZ 或者 dyyfyzfzf YXZ 返回主目录 的卷积，记作与我们称上式为函数 yfxf YX yfxf YX * 第三章 习题课 , 211 ，NX 论：一般地，我们有如下结 相互独立，且与如果随机变量 YX ，YXZ 222 ，NY . 222121 ，则 NZ 第三章 随机变量及其分布 5 多维随机变量函数的分布 返回主目录 2 iii NX ， 结论：更一般地，我们有如下 相互独立，如果随机变量 nXXX 21 ，令 n i ii XaZ 1 ni ， 21 . 1 22 1 n i ii n i ii aaNZ ，则 个实常数，为，又 naaa n21 第三章 随机变量及其分布 5 多维随机变量函数的分布 返回主目录 解题步骤 ，分布函数 的，先求随机变量函数 zF YXgZ Z .1 ，密度函数 的，再求随机变量函数 zFzf YXgZ ZZ .2 (2)其它的分布 返回主目录 ，数为 ，其联合密度函是二维连续型随机变量，设 yxf YX YXgZ ， ， 的密度函数，求随机变量函数 zFzf YXgZ ZZ 第三章 习题课 令：的分布函数为 量，是独立的连续型随机变，设 ).,2,1( 21 nixFX XXX ii n ， ， nn n XXXX XXXX 21 211 m a x m i n ，的分布函数为设随机变量 xFX 11 返回主目录 ，的分布函数为设随机变量 xFX nn 第三章 习题课 则 xXPxF nn )()()( 21 xFxFxF n 返回主目录 xXPxF 11 )(1)(1)(11 21 xFxFxF n 第三章 习题课 例 1 设二维随机变量 （ X， Y） 的概率密度函数为 其它0 1015, 2 yxyxyxf （ 1）求边缘概率密度函数 );(,)( yfxf YX . （ 2）求 ;)( xyf XY .1)3( YXP求 第三章 习题课 解： dyyxfxf X ),()()( 由1 ).()(, 22 1 2 1 2 151510 xxy dyxxfx x X 时则 其它 因此 0 101 2 15 22 xxxxf X )()( dxyxfyf Y ),()(由 .)(, 4 0 2 51510 yy dxxyfy y Y 时则 第三章 习题课 其它因此 0 105 4 yyyf Y )( ,)()( 0102 xfx X，时由于 .0 1 1 2 )( ),( )( 2 其它 因此 yx x y xf yxf xyf X XY .),()( 64 5 1513 1 2 2 1 01 x xyx y d yxdxd x d yyxfYXP 第三章 习题课 例 2 设 (X, Y)在区域 D= (x,y)| 0< x <1,0< y <2 上 服从均匀分布，（ 1）求 X和 Y的联合概率密度。 （ 2）设含有 a的二次方程为 .022 YXaa 试求 a有实根的概率。 解 : 由题意知 其它。,0 ,),(, 2 1 ),( Dyx yxf 方程有实根的条件为 .,044 22 XYXYX 即 .61221 1 0 21 0 0 2 2 dxxd y d xXYP x因此 第三章 习题课 例 3 21 RR ， 21 RR， 在一简单电路中，两个电阻 串联连接。 相互独立，概率密度函数均为 设 其它,0 ,100, 50 10 xx xf 求总电阻 21 RRR 的概率密度函数 解： 21 RRR 的概率密度函数为 dxxrfxfrf R )()()( 时，易知仅当 100100 xrx ,上述积分的 第三章 习题课 被积函数不等于零。参考图可得 x r 10 10 20 当 0 <r <10, r R dx xrxrf 0 50 )(10 50 10)( dxxrxr r )10(102500 1 2 0 rxxrxr 0 32 |32)10(102 5 0 01 )606 0 0(1 5 0 0 01 32 rrr 第三章 习题课 当 10 <r <20, 10 10 50 )(10 50 10)( r R dx xrxrf dxxrxr r )10(102 5001 2 10 10 3)20( 1 5 0 0 0 1 r 其它。 因此 , ,)( ,),( )( 0 201020 15000 1 10060600 15000 1 3 32 rr rrrr rf R 第三章 习题课 例 4 某箱装有 100件产品，其中一、二、三等品数目 分别是 80， 10， 10件，现在从中不放回地依次取 两件，令 其它， 件是一等品第 0 ,1 iX i i =1,2.试求 ： 1X 2X（ 1） 和 的联合分布率；（ 2）说明 是否独立 . 1X 2X 和 解： ,./, 638099063211 2 10028021 CCXXP ,162.0990/160/0,1 210012018021 CCCXXP 第三章 习题课 ,162.0990/160/1,0 210012018021 CCCXXP ./, 03809903800 210022021 CCXXP ,./ 8099079299016099063211 XP ,./ 209901989901609903801 XP ,./ 8099079299016099063212 XP ./ 209901989901609903802 XP ,/,/, 9909907927921199063211 2121 XXPXXP由于 1X因此 2X 是不独立 。 与 第三章 习题课 X Y X 1,0 Y 1 例 5 设随机变量 与 相互独立， 服从区间 上的均匀分布， 服从 的指数分布求 （ 1） X和 Y的联合密度； （ 2）设含有 a的二次方程为 ,022 YXaa 试求 a有实根的概率； （ 3）又设随机变量 ,YXZ 试求随机变量 Z 的概率密度函数 . 第三章 习题课 解： 由已知易得 （ 1） 由于 X,Y独立， 因此 X和 Y的联合密度为 其它。, ;,)()(),( 0 010 yxeyfxfyxf y YX （ 2）方程有实根，则 40Y 2=(2X) 即 ， 2YX . P(方程有实根 )=P( ) 2YX 2 221 1 1 0 0 0 0( 1 ) 1 x y x xd x e d y e d x e d x 第三章 习题课 其它,0 10,1)( xxf X 其它,0 0,)( yeyf y Y (3)利用公式 ( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x d x 当且仅当 01 0 x zx 时 上 述 值 不 为 0 . 当 0<z<1时， 当 1z 时， () 00 ( ) ( ) ( ) 1 zz z x z Z X Yf z f x f z x d x e d x e . 11 () 00( ) ( ) ( ) ( 1 ) z x z Z X Yf z f x f z x d x e d x e e . 第三章 习题课 1 0 1 ( ) ( 1 ) 1 0 z z Z ez f z e e z 其 它 故 或利用公式 ( ) ( ) ( )Z X Yf z f z y f y d y 当且仅当 01 0 zy y 时 上 述 值 不 为 0 当 0<z<1时， 00( ) ( ) ( ) 1 zz yz Z X Yf z f z y f y d y e d y e 当 时， 1z 11( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) zz yz Z X Yf z f z y f y d y e d y e e . . 第三章 习题课 设二维随机变量有密度函数 ： 练 习 第三章 习题课 43 , 0 , 0 ; ( , ) 0, xyAe x y f x y 其 他 A ,XYf x f y ,XY （ 1） 求常数 （ 2） 求边缘概率密度 （ 3） 是否相互独立 。 解 : (1) 第三章 习题课 则 （ 2） （ 3） ( 4 3 ) 0 0 0 01 ( , ) d d e d d 12 xy Af x y x y A x y .12A ( , )Xf x f x y d y 44 , 0 0, xex 其 他 ( , )Yf y f x y d x 33 , 0 0, xey 其 他 ( , ) XYf x y f x f y ,XY , 所以 相互独立 .