2.1含参变量的积分ppt课件

前面：讨论过函数项级数 1()nnux用来表示和研究一些 非初等函数复杂函数）：当把求和看成连续量求和时就是本章内容。学习方法：强调与Ch12 对应。1 含参变量的正常积分在a,b 连续(,)dcf x y dy定理19.1 在 上连续，那么(,)f x y,a bc d 假设 等价于：等价于：00lim()()xxI xI x而 即积分运算与极限运算可以交换次序即积分运算与极限运算可以交换次序。0,xa b000lim(,)(,)lim(,)dddcccxxxxf x y dyf xy dyf x y dy例例 求：求：1200lim1cosdxxx（积分下求导数）设(,)f x y和(,)xfx y在,a bc d上连续，那么()I x在,a b有连续的导函数，且()(,)dxcIxfxy d y即(,)(,)ddccdfx y dyfx y dydxx定理19.2例例1.求：求：()ln(1cos)oIx dx其中1解：对任意 1存在b使得|1b，于是 cos(,)ln(cos),(,)1cosxf xaxfxx都在 0,b b 连续，由定理19.2得 0cos()1cosxIdxx0当 00111()(1)1cos1cosdxIdxxx时 令 tan2xt那么(万能公式）222000222012211cos1(1)(1)1121arctan111dxdtdttxtttt因而 222()1(11)1I积分得22222()1(11)111ln(11),0dIdCb b 又由 及 ()I的连续性，得：ln2,C 因而211()ln,|12I(0)0I1）函数的范围 满足Th19.2的条件()I 3）积分求出()I，确立常数211()ln2I1(,)f x 2）求出 最后求得：方法步骤：例例2.计算定积分计算定积分 120ln(1)1xIdxx这个积分并不带参变量，但如果直接求，很难积出来，120ln(1)(),0,11xIdxx 我们将通过积分求导数，再求出 I=I(1)，记2ln(1)(,)1xf xx为此，引入参变量，考虑含参变量积分解：解：那么2221(,)(),(1)(1)111xxfxxxxx它们都在 0,1 0,1 上连续，根据定理19.2，有112200122021()(,)()11111 arctanln(1)ln(1)1211ln2ln(1).142xIfxdxdxxxxxx 注意到 I(0)=0，故10120112200(1)(1)(0)()11ln2ln(1)1421ln(1)ln(1)ln2arctan821ln2ln2(1)ln2(1),884|IIIIdddII从而(1)ln 28II1）引入参变量，考察含参变量积分 120ln(1)()1xIdxx 0,1验证 2ln(1)(,)1xf xx在 0,10,1()I3求 (1)II2求出上满足Th19.2。方法步骤：定理19.3 设函数f(x,y)在矩形区域 ,a bc d上连续，(,)(,)ucI x uf x y dy那么（1）(,)I x u在 ,a bc d 连续；(,)xfx y 在 ,a bc d连续，那么(,)I x u 在 ,a bc d有连续偏导数。（2假设对各变元定理19.4：设函数 f(x,y)在 ,a bc dc(x)，d(x)都在a,b上连续，并且,xa b有(),()cc x d xd 上连续，当那么 ()()()(,)d xc xF xf x y dy在a,b连续。定理19.4设函数 f(x,y)，(,)xfx y 都在 ,a bc d上连续，又()c x和()d x 在a,b存在，且当 ,xa b 时，有 ()cc x,()dxd，那么()()()(,)d xc xF xf x y dy在a,b可导，且()()()(,)(,()()(,()().d xxc xF xfx y dyf x d x d xf x c x c x定理19.5例例3.设设 2sin()xxxyF xdyy，求()F x解:这个积分积不出来，但由定理19.5有223223332sinsin()cos2()12sinsinsin3sin2sin|xxxxxxF xxydyxxxxxxyxxxxxx例4.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，则微分方程(1)(0)0,(0)0,(0)0nyyy附近可表成(1)01()()()(1)!nxy xxtf t dtn其中n是任意正整数。(2)10(2)011()(1)()()()()(1)!(1)!1()()(2)!xnnnxy xnxtf t dtxxf xnnxtf t dtn()()nyf x的解在 x=0 证明:利用定理19.5，那么一般地有(1)()01()()()(1)!n kxkyxxtf t dtnk 从而(1)0()(),xnyxf t dt()()()nyxf x显然()(1)(0)(0)(0)(0)0knyyyy()(,)dcI xf x y dy 的可积性积分问题）()I x 在a,b 可积.通常记 ()(,)bbdaacI x dxdxf x y dy最后讨论最后讨论记号：假设称为先对y后对x的累次积分（积分交换次序）()(,)bbdaacI x dxdyf x y dx ()I x 在a,b 可积，且 即 (,)(,)bddbaccadxf x y dydyf x y dx设 f(x,y)在 a,b c,d 连续，那么 定理19.6证明：1()(,)udacI udxf x y dy2()(,)ducaI udyf x y dx先证明：12()()I uI u2.确定 12()()I uI uc中的常数c=0（取u=a）12()()I uIu 中令 u=b 得证.令3.在cos(,)1cosxf x yyx00cos()1cosxIdxdyyx0,0,解：，令在 连续，那么 积分交换次序，00cos()1cosxIdydxyx在例1中已求出 220cos1cos1(11)xydxyxyy故220()1(11)yIdyyy，用变量代换，22011ln(11)ln2y例例5.求求 ()ln(1cos)oIx dx其中12 含参变量的广义积分1.1.一致收敛一致收敛广义积分有两种情形，一种是无穷限积分，另一种为瑕积分.回忆函数项级数的情形，在和函数分析性质的研究中，一致收敛的概念起了关键作用.通过一致收敛，把无穷和的性质化为有限和的研究.在含参变量广义积分的讨论中，我们也引入一致收敛的概念.本章主要讨论无穷限的情形，但是所有的结果都可以平行地推广到瑕积分的情形.一致收敛的概念起了关键作用.他们都是含参变量正常积分的极限，这与函数项级数十分类似.设f(x,y)定义在a,b c,，且对任意xI(x)=(,)cf x y dy收敛。若对任意的(,)()Acf x y dyI x(,)Af x y dy都成立，则称含参变量的广义积分(,)cf x y dy在a,b一致收敛.a,b,无穷积分或00Ac0AA，存在，当时，有定义19.1对xa,b例1.证明：含参变量的广义积分0 xyxedy一致收敛.其中a 0；xyxyxAaAAAxedyeee,xa而xyaAAxedyelim0aAAe ,所以对任给的0,存在00A,当A0A时有aAe,从而当0AA时，对任意的,xa有 这就证明了（1在,)a 不一致收敛.证明:(1)因为（2在(0,)在一致收敛。,)a 0 xyxedy含参变量的广义积分 在a,b一致收敛的(,)cf x y dy充要条件是对任给的0，存在正数0Ac，当时，对任意的xa,b，有 (,)AAf x y dy0,A AA 定理19.7(一致收敛的柯西准则)一致收敛判别法：一致收敛判别法：定理19.8（魏尔斯特拉斯判别法，或M判别法，或控制收敛判别法）()M y与常数Bc，使得当yB与xa,b时，有 (,)()f x yM y而广义积分()cM y dy是收敛的，那么(,)cf x y dy在a,b一致收敛。设存在函数设1含参变量的正常积分(,)Acf x y dy在Ac与xa,b有界，即存在M0，x(,)Acf x y dyM (2)对每个固定的xa,b，函数g(x,y)关于 y 是单调的，y 时，g(x,y)在x a,b 一致地趋向于0。那么(,)(,)cf x y g x y dy在a,b一致收敛。对任意的Ac及任意a,b有且当含参变量广义积分定理19.9（狄利克雷判别法）设1）(,)cf x y dy在a,b一致收敛；xa,b，函数g(x,y)关于y单调，xa,b,yc则含参变量广义积分 (,)(,)cf x y g x y dy 在a,b一致收敛。（2对每一个固定的且g(x,y)在有界。定理19.10（阿贝尔判别法）例例2.2.证明证明20cos()1xydxx在(,)一致收敛22cos()111xyxx对(,)y 与0,)x成立，而广义积分201dxx收敛，因而20cos()1xydxx在(,)一致收敛。证明:用魏尔斯特拉斯判别法 由于 例例3.3.证明证明0sinxyxedxx在0,)一致收敛.(,)f x y在若含参变量广义积分I()=(,)cxf x y dy在a,b上一致收敛，设,)a bc那么 I(x)在a,b连续。2 含参变量广义积分的分析性质定理19.11（积分号下取极限）上连续，设(,)f x y在,)a bc()(,)cI xf x y dy在a,b上一致收敛，那么()(,)bbacaI x dxdyf x y dx(,)(,)bbaccadxf x y dydyf x y dx即 定理19.12（积分交换次序）上连续。若含参变量广义积分设(,)f x y和(,)xfx y都在,)a bc上连续，(,)cf x y dy在a,b上收敛，(,)xcfx y dy在a,b上一致收敛，()(,)cI xf x y dy 在a,b可导，且 ()(,)xcI xfx y dy 即(,)()(,)ccdf x y dxI xf x y dydxx交换 x,y结论依然成立那么定理19.13（积分号下求导）假设例例4.4.求狄利克雷积分求狄利克雷积分例例6.6.计算积分计算积分0sin xIdxx解：令0sin()xyxI yedxx，那么0(0)lim()2yIII y例例5.5.计算积分计算积分21sin()xIdxx解：利用例4.0(0)axbxeedxabx解：注意到axbxbxyaeeedyx定理19.14(迪尼)设f(x,y)在,),ac d 连续，非负.假设(,)af x y dx,c d在收敛，且作为 y 的,c d函数在 连续，那么(,)af x y dx在,c d是一致收敛的.定理19.15设(,)f x y在,),)ac 连续且非负(,)af x y dx(,)cf x y dy都收敛，且分别在,)a 和,)c 连续，(,)cadyf x y dx(,)acdxf x y dy，中有一个存在，则另一个也存在，且两者相等.假设例例7.计算概率积分计算概率积分20 xJedx10()xxedx 含参变量广义积分1 它的定义域就是积分的收敛域：易知0（二性质在其定义域0内连续且()10()()nnxxlnx e dx（一定义：1.它为无穷限广义积分 2.当时又是瑕积分有任意阶连续导数：3 欧拉积分 1.函数：函数()(三)递推公式(1)()特别：为正整数时0(1)1xe dx(1)()(1)(1)!(1)!nn nn nnnn 0可见 函数是阶乘n!的延拓1110(,)(1)abBa bxxd x称 (,)(,)B a bB b a（一定义：含参变量的广义积分（二性质：2.B函数1110(1)abxxdx1.它的定义域就是积分的收敛域2.当a 1,b 1时积分是正常积分 3.当a 1或b 1时积分是瑕积分为B函数，定义域为 a0,b0对称性（a0,b0)（四与 函数的关系狄利克雷公式）()()(,)()abB a bab(三)递推公式：1(,)(,1)1bB a bB a bab1(1,)1aB abab （a0,b1）（a1,b0）内容小结 含参变量的正常积分的定义及其性质 含参变量广义积分的判别法、性质及其计算 欧拉积分的计算习题2sin()yyyxF ydxx322sin2sin()yyF yy1.记.那么2.求0()ln(1cos)Ix dx，其中1解：解：00cos11()11cos1cosxIdxdxxx22211211.再对积分，得211()lnlnIc，(0)0I，得ln 2c 又故211()ln2I3.应用对参数求导法计算积分2220ln(sin)ax dx(1)a（不必定常数，若计算时出现无界情况，取极限计算）解：令2220()ln(sin)(1)I aax dx a，那么222200211()sinsinsinaI adxdxaxaxax2222220tan1tan12arctanarctan111xxaaaaa2222211arctanarctan1111aaaaaa故，2()ln(1)I aaac 补充题1.设2cos()()yyx yF ydxx，求(1)F解：由于函数解：由于函数2cos()(,)x yf x yx，2(,)sin()yfx yxx y 都在11,2 ,22上连续，又 12yy，1y 在1,2 2存在，且当1,22y 时，1,22yy，于是()F y在1,2 2可导，且232cos1cos()sin()12yyyyF yxx y dxyyy22323cos()coscos3cos4cos22xyx yx yyyyyyyyy故1cos1(1)()2yFFy.，作业 P269 1(1),(3);2(1),(4);6(1);9;11 P282 1(1),(4);9(2);12(5);13(1);14(1)P290 1(1),(1),(3);2(2),(4)