【高考前三个月复习数学理科 三角函数与平面向量】第19练

专题4 三角函数与平面向量,第19练解三角形问题,题型分析高考展望,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点.,常考题型精析,高考题型精练,题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题,题型二正弦、余弦定理的实际应用,题型三解三角形与其他知识的交汇,常考题型精析,题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题,例1(1)(2015广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2 3 ，cos A 3 2 且b<c，则b等于() A.3 B.2 2 C.2 D. 3 解析由余弦定理a2b2c22bccos A，,即b26b80， b4或b2， 又b<c，b2. 答案C,(2)(2014山东)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a3，cos A 6 3 ，BA 2 . 求b的值； 求ABC的面积.,由ABC，得C(AB). 所以sin Csin(AB) sin(AB)sin Acos Bcos Asin B,因此ABC的面积,点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解；在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生.,变式训练1(2015课标全国)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC.,解由正弦定理得,因为AD平分BAC，BD2DC，,(2)若BAC60，求B. 解因为C180(BACB)，BAC60，,即B30.,题型二正弦、余弦定理的实际应用,例2如图，游客从某旅游景区的景点A处下 山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行 到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A ，cos C .,(1)求索道AB的长；,从而sin Bsin(AC)sin(AC) sin Acos Ccos Asin C,所以索道AB的长为1 040 m.,(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 解假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m， 所以由余弦定理得,(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？,乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.,设乙步行的速度为v m/min，由题意得,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，,点评解三角形中的实际问题四步骤： (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.,变式训练2(2014四川)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_m.(用四舍五入法将,结果精确到个位.参考数据：sin 670.92，cos 67 0.39，sin 370.60，cos 370.80， 3 1.73),答案60,题型三解三角形与其他知识的交汇,例3已知向量m(cos x，1)，n ，函数f(x)(mn)m. (1)求函数f(x)的最小正周期； 解f(x)(mn)m,(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a1，c ，且f(A)恰是函数f(x)在 上的最大值，求A，b和ABC的面积.,f(x)取得最大值3，又A为锐角，,所以b1或b2，经检验均符合题意.,从而当b1时，ABC的面积,当b2时，ABC的面积,点评解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型，对于这种问题要细心读题，弄清问题实质，一般都以其他知识为载体，主体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关键.,变式训练3(2015陕西)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m(a， 3 b)与n(cos A，sin B)平行. (1)求A； 解因为mn，所以asin B 3 bcos A0， 由正弦定理，得sin Asin B 3 sin Bcos A0， 又sin B0，从而tan A 3 ， 由于0A，所以A 3 .,(2)若a 7 ，b2，求ABC的面积. 解方法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，,得74c22c，即c22c30， 因为c0，所以c3，,高考题型精练,1.(2015北京改编)在ABC中，a4，b5，c6，则 等于() A. 1 2 B.2 C.1 D. 3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案C,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.(2015重庆改编)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C 1 4 ，3sin A2sin B，则c等于() A.2 B.3 C. 3 2 D.4,解析由3sin A2sin B，得3a2b，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案D,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C2A，cos A 3 4 ，b5，则ABC的面积为(),高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.(2014江西)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则 的值为(),高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案D,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,AC1， 此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形， 不符合题意. 故AC 5 . 答案B,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案B,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.(2014天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bc 1 4 a,2sin B3sin C，则cos A的值为_. 解析由2sin B3sin C及正弦定理得2b3c，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.(2014课标全国)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又(2b)(sin Asin B) (cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c， a2b2c2bc， b2c2a2bc.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,ABC中，4a2b2c22bccos 60 b2c2bc2bcbcbc(“”当且仅当bc时取得)，,10.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A ，a ，则b2c2的取值范围为_.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,b2sin B，c2sin C， 所以b2c24(sin2Bsin2C) 2(1cos 2B1cos 2C),高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以3<b2c26. 答案(3,6,11.(2014重庆)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc8.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由余弦定理得,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,化简得sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C. 因为sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C， 所以sin Asin B3sin C. 由正弦定理可知ab3c. 又因为abc8，故ab6.,从而a26a90，解得a3，b3.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,12.如图所示，某小区准备将闲置的一直角 三角形(其中B 2 ，ABa，BC 3 a)地 块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分 有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(AMN和AMN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A落在边BC上，设AMN.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(1)若 3 时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；,设MAMAxa(0<x<1)，则MBaxa，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,由于AMN为等边三角形， 所以绿地的面积,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，AN的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,设AMax(0<x<1)，则AMax，BMaax，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,