索伯列夫空间嵌入定理与集中紧性原理(三稿)

索伯列夫（Sobolev）空间嵌入定理与集中紧性原理摘要 本文主要研究索伯列夫空间嵌入定理及其证明，和集中紧性原理，加深对泛 函知识的理解。关键词弱导数、Sobolev空间、嵌入定理、集中紧性原理AbstactKey words目录摘要.IAbstractII引言.1一、 预备知识21.1 弱导数定义.21.2 Sobolev 空间 Wm,P ( )21.3 引理.2二、嵌入定理的证明与集中紧性原理52.1 嵌入定理的证明.52.2集中紧性原理102.3 结论12参考文献.13引言索伯列夫空间理论是上世纪 30 年代初由苏联数学家 S.L.Sobolev 发展起来 的。这些空间是由弱可微函数所组成的 Banach 空间，它们是为研究偏微分方程 的近代理论以及研究与数学分析有关的领域中许多问题的需要而产生的 。苏联数学家索伯列夫( S.L. Sobolev) 从 1938 年开始，在研究弹性体中的波 动等问题时，建立了一系列新的概念，例如广义解、广义导数、嵌入定理等 他 以泛函分析为工具发展了一套新型的可微函数空间Wm, p (0)理论(现在国际上称 为Sobolev空间)，同时他也为偏微分方程的近代研究奠定了理论基础，Sobolev 这些开创性的工作在他的名著“ 泛函分析及其在数学物理中的应用” (1950)中 作了系统的总结从那时以来，这种理论已有很广泛的发展.19571959年，意大利E. Gagliado提出了一套与Sobolev不同的证法.19561958年苏联Slobodeokii等 人推广了 Sobolev的工作，引进了“分数次求导”等概念，形成了分数次空间 W m,p (， 称 Slobodeokii 空间Sobolev 空间的嵌入定理在函数空间理论、偏微分方程、偏微分方程数值解 等学科中有重要应用。一般区域上Sobolev空间的嵌入定理的证明已经给出，但 证明一般过于复杂，限制了它在通常学科中的使用。本文研究 Sobolev 空间的嵌入定理的证明和集中紧性原理的证明。1.1 弱导数的定义、预备知识设u e L1(Q)，对于给定的重指标a，如果v e L1(Q)且对于所有的申e L1(Q)，Jvdx = (-l)ajuDa® dxQ并记v = uDa，则称v是u的a阶弱导数.1.2 Sobolev 空间 W m, P (Q)设对p > 1，m是非负整数，对本身及其直到m阶弱导数在内都是Lp(Q)可和的函数集合：Wm,p (Q) = Lp (Q) P| u I Dau e Lp (Q),l a m=u I u e Lp (Q), Dau e Lp (Q),I a I< m( 1)在空间Wm, p (Q)内引入范数|u |m,p,QI Dau Ip dx)1 p =(工 II Dau IIp )'p ,1 < p < Op,Q( 2)Q IaI< mIaI<mmax II Dau IIIaI<mO ,Q1.3 引理引理1设Q是具强局部Lipshitz性质的区域，简称L型区域，则:1)存在开集O , O，O，使QQuOO12mii=12)3)存在开集O，使QuOO0i=o i设Q = x eQ I dist(x,QQ) <8 , V = x e O I dist(x,QO ) >8 ，则存8jjj1在一个充分小的8 > 0，当x , y eQ,且I x - y I<8时，有一个j使x , y e V 1811j(4) 对任意j ,存在顶点在原点的多面体P ,使得x e VflQ时， j j(5) 存在8 > 0，8 >8，及常数K，使得当x,y e VQ，且I x- y I<8221j2f (x), x eQ.0,x eQ.引理 4设Q是Rn中的有界开集，k为正整数，使1 < k < n，(n -1) 九=Ik-1 丿F (xk ) = F (x，,x ) e ZA(Qk)，KK KKK1kF(x) = n.K(xK)'则Jl F (x )I dx <n JKeS丄I F (xk) h dxK九K时，有 z e (x + P)n( y + p )，使jjI x - z I +1 y - z l< K (x - y)(6) 存在一个顶点在原点的多面体P，当xeQQ时，x + P uO。此0oi0外存在0 > 0，当 x, y eQ Q，且I x- y l<0 时，(x + P )Cl(y + P ) H 。30300(7) 存在向量y,当x eQQ门O时，x + ty eQ，对任意0 < t < 1。iii引理2 (Gagliardo定理)设Q是Rn中的有界锥形区域，对任意的d >0,存 在开集 Q , Q , Q ,满足：1 2 m(1) Q = Cl Q ；i=11( 2) 对每一个 Q , 存在一个顶点在原点的平行多面体 P , 使i0iQ=U (x + P )，其中A uQ且其中直径小于等于d。i0 iiixeAi引理3设1 < p v+s，Q是有界区域，M u Lp (是列紧的充要条件为：(1) M是Lp(Q)中的有界集，即存在K > 0，使对任意f e M，I f II< K ；Lp(Q)(2) M是Lp(Q)中等度连续，即对任意s > 0，存在0 > 0，当I y I<0时J I f (x + y) f (x) Ipdx <s p(对任意 f e M)Q其中 f 是 f 的延拓函数,定义为 f (x)=引理5设Q是Rn中边长为2的立方体，其边分别平行于坐标轴，而Q是由Q经平移得到的L型区域，又1 < p < n，q = -，f e C(Rn,Q)，则 n - p0II f II < K II f II q1,p其中K是与f无关的常数。引理6设Q是Rn中边长为1的立方体，Q表示边长为t的立方体，其表面 t积分别平行于Q的表面，如果f e C- (Q) Wi,p (Q)，而n < p 5，贝ljIf (x) - f (y) l< K I x - y 卩蔦 II Vf II(对任意 x , y e Q )p其中K是与f无关的常数。引理7设Q是Rn中具有锥性质的有界区域，简称有界锥形区域，p > n ,若 f e C-(Q)nWi,p(Q)，则 supI f (x) I< K II f II，其中 K是与 f 无关的常数。xe。1，p引理 8 设 Q = x e Ri I0 < x < 1, j = 1,2,i,其中 i = 1,2,n, p > 1。则 i j下列结论成立：(1) II u(x,x , x ) II < K II u II，对任意 u e W1,p (Q )，对几乎处1n-1 n Lp(q”_)w 1, p (Q)n处 xe(0,1)。(2) sup I u(x,x , x ) I< K II u II(x,x ) II，对任意 u e W1, p (Q )。1n-1 n1n W"-1(Q )nxeQnn其中K是与u无关的常数。引理9设。是Rn中的开集，0 <卩< 1，则C 0, M。) TT C (。)。引理10 设。是Rn中的开集，0 V九<»< 1，则C 0, (。)TT C 0, X (。)。引理11设。是Rn中的一个区域，1 < q1 V q0，如果Wm,p (。)T仇(。),Wm,p (。)TT Lq1(Q)，则对任意的 q e q , q )，有 Wm,p (。)TT L(。)。10二、嵌入定理的证明与集中紧性原理2.1 嵌入定理的证明定理1设。是Rn中的有界锥形区域，mp < n。(1) 如果 mp < n , q = _，则 Wm,p (。) t L(。)；n - p(2) 如果nm = p , p > 1, 1 < q <，则 Wm,p(。)t L(。)；(3) 如果nm = p , p 二 1，则 Wn,1 ( t C (。)B证明 由Gagliardo定理(引理2),有界锥形区域可以分解成一系列L-型区域的并，即H。，其中O是L-型区域，H为有限数。如果iii=1Wm, p (0 ) T Lq (0 )，i = 1,2,H，贝UiiII f II 应 Ilf IILq(0)i=1< K艺II f IIWm,p(0)i =1i< K.H II f IIWm,p (0i )所以Wm,p(0) t L(0).再由Gagliardo定理，L-型区域可由一平行多面体经过一系列平移得到，即0 = U (x + V)，其中V是一顶点在原点的平行多面体。iiixeA又平行多面体V可经过一个可逆线性变换映成边长为2的n维立方体，记为Q ,i则在此变换下0映成0'= U(x + Q)。综上所述，为了证明定理(1)和定理(2),iixeA可以不妨假设0 = x + Q。(1)考虑mp < n的情形。对m作归纳来证明。m = 1 时，1 < p < n , q =，要证 W1,p(0) T L(0)。由引理 5,对任n - p意g g C g (Rn, 0) , II g II < K II g II ,其中K是与g无关的常数。设 0Lq (0)1W1, p1f g W1,p(0),因 Cg(Rn,0)在 W1,p(0)中稠密，故存在函数数列g u Cg(Rn,0), 0n 0使g 在W1,p(0)中收敛于f，从而g 是W1,p(0)中的基本列。由上述不等式 nn知g 也是Lq (0)中的基本列，从而在Lq (0)中收敛，由实变函数论的基本定理, ng 在 Lq(0) 中 的 极限函 数必为 f 。 于是由 IIg II <K IIg II 得到 nn Lq (0)1 n W1, pII f II < K I f II。这样就证明了 Wm,p (0) T Lq (0)。Lq (0)1W1,p (0) 假设结论(1)对m-1是已成立，即当(m-1)p < n , q = np 时,n - (m -1) p成立 Wm-1,p (0) T Lq (0)。 下证结论(1)对m是也成立。设f g Wm,p(0),则f的一阶偏导数Df g Wm-1,p(0)(i = 1,2,n)。记a =巴，由归纳假设得到：i0 n - (m -1) pII Df II < K II DflliLq0g)1 iWm_1,p(< K II Df II(i = l,2,n)1 iWm，p (Q)又显然f G Wm一 1,p (，故II f II < K II f II < K II f IILqo( Q)1Wm-1, p (1Wm'p(Q)于是 f GW1,q0 ，且II f II < K II f IIW1,q02Wm,p (Q)由m = 1的情形知W 1,q0 T Lq(Q)。其中q = "o =，于是n - q n - mp0II f II < K II f IILq (Q)3W 1,q0 (Q)结合前一个不等式得II f II < K K II f IILq (Q)2 3Wm,p (Q)从而Wm,p (Q) T Lq (Q)(2) 考虑nm = p, p > 1，再分两种情形。 设 q > p'=，令 s =，贝y q = ns。因 1 < s < p，对任意 a，p -1p + qn ms0 <I a I< m。由Holder不等式易知IIDaf II<K IIDaf II <K IIf IILs (Q)1Lp (Q)1Wm,p (Q)其 中 K 是 与 f 无 关 的 常 数 。 于 是 IIfII <K IIfII ， 即 1Wm,s (Q)1Wm,p(Q)Wm,p (Q) t Wm,s (Q)，此时 n = mp > ms。对 Wm,s (Q)，利用(1)得到Wm,s (Q) T Lq (Q)结合前一个嵌入有Wm,p (Q) T Lq (Q) 设q < p'，由上述的结论，Wm,p(Q) T Lp-(Q)。因Q为有界区域，由 HOlder 不等式易知 Lp' (Q) T Lq (Q)，从而 Wm,p (Q) T Lp (Q)。(3) nm = p， p = 1 的情形。由引理8, Wn,1(Q) T C (Q)，其中Q为任一n维立方体。设V是任一多面体, B则存在可逆的放射变换把V映成立方体Q，于是Wn,1(V) T C (V)。B由前面的讨论，设0 = H0，0 = U (x + V)，f G Wn,1(0)，则 f G Wn,1(0 )iiiii=1xgA且f G Wn,1(x + V )，对任意X G A。从而i0 isup I f (x)I< K IIfII <K IIfIIiWn,1(x +V )iWn,1(0 )x0 +Vi0 ii若 x g A，1ix丰x,则x +V经过平移变化为x +V。于是有101 i0 isup I f (x) I< K II f II = K II f IIWn Xo +匕)iWn,1(x +V)ix1+Vi1 i<KIIfIIiWn,1(0 )其中K是与X G A无关的常数。取K二max K，则i 0 i1<i< H isupIf(x)I<KIIf IIWn,1(0)xG0从而 Wn,1(0) T C (0)。B定理2设Q是Rn中的有界锥形区域，mp > n ,W m,p (0) T C (0)B证明 因为Cs (在Wm,p (0)中的稠密，所以只要证明对任意f G Cs (0)p| Wm,p(0)，有I?Wm p(G)sup I f ( x) I< K II f II xg0 其中 K 与 f 无关的常数。(2) m >1，p > n的情形。p > n的情形。利用引理(7)即可。因Wm,p (0) T W1,p (0)，利用(1)的情形即可。(3)m> 1，设 jp < n 。p < n 的情形。取整数 j，使 1 < j < m -1，且 jp < n < (j +1)p。设d是n重指标，满足I a I< m - j。如果f g Cs (0)n Wm, p (0)，则D«f g Wj,p(0)。由引理1得II D f II < K II D f IILr(0)1W j,p(0)其中r = 。从而 n - jPII f II < K II f IIWm-j,r (Q)2Wm，p (Q)因为r > n，所以supI f (x)I< K II f II <KIIf IIW1,r (Q)Wm,p (Q)xeQ设 jP 二 n。此时 Da f g W j,p (Q)，对任意 I a I< m - j由引理（1）,对任意r g 1,+s），有II Da f II< K II Da f IILr (Q)W j,p (Q)取r > n，和情形类似可证。定理3设Q是L型区域， mp > n > （m 一 1）p，贝UW m,P (Q) > C0,久(Q)其中九由下列条件确定:（1） 如果m > （m一 1）p，则0<九<m一一 ；p(2)如果m = (m一 1)p，则0<九 < 1 ；(3)女口果p = 1， n = m 1，贝V0<X < 1。证明：首先由定理2得Wm, p (Q) t C (，即对任意f g Wm, p (Q)，有Bsup I f (x) I< K II f II1Wm,p (Q)xgQ为了证明Wm,P (Q) T C0,入(Q),只要证明对任意f G Wm,P (Q)，有f (x) 一 f (y" < K II f III x y I2Wm,p (Q)其中 K 与 f 无关的常数。2因为 Wm,p (Q) T Lr (Q)，所以Wm,p(Q) TW1,r(Q)其中根据下列情形确定。2)3)当 m > (m 1)p 时，取 r -nP ，此时 1 m n-(m-1)pr pn当 m = (m 1)p 且 p > 1 时，可任意选取 r g (n, +s)，使 0 < 1 一 < 1 ； rnn当 p = 1， n = m-1 时，取r 二+/。此时 1 = m-1。 rp对上述三种情形总有n <r <+。于是只要证明,对任意0<X < 1 -，存在rK，使对任意f G W 1,r (0)，成立sup1 f (x) - f (y)| < KII f IIx,yG0I X - y 几W 1，r (0)x主y又 C- (Rn , 0)在 W 1,r (0)中稠，0*)所以只要证明上式对C (Rn , 0)中的函数成立。0当0是Rn中的立方体时,由引理(6)，上述不等式已成立。通过线性变换可知，对 Rn 中的任意多面体，上述不等式也成立。当0是L型区域时，由L型区域的性质得(间引理1)：当A充分小时，如果x,y g卩门0 ， 且 I x- y I<A 时， 存在 z g (x + P )(y + P )， 使 j j jI x z I +1 y z I< CI x y I。在多面体x + P和y + P上，结论已成立，于是 jjI f(x) f(y)I<I f(x) f(z)I+I f(x) f(z)I< KI x- z I九II f IIW1,r(x+pj)+ KI z - y hII f II 7W1,r(x+pj)< 21-x KC九 I x- y I九II f II 7W1,r(x+pj)若x, y不满足上述条件，则再分下列两种情形。(a) I x - y I<A <A，其中A是待定常数。此时根据引理1再分三种情形考 00虑。 当x, y g 0时，存在j，使x, y g V A0，从而是已考虑的情形。为j 当x G0 , y G0 0时，取A充分小，仍可使x, y g V，从而也化为已考51510j虑的情形。 当 x, y eQ0 时，则 x + P 和 y + P 必相交。取 z e (x + P )Cl(y + P ),Oi0000使得I x - z I +1 y - z l< C I x - y I和上述类似推得不等式(*)也成立(b)当 I x-z I +1 y-z I< CI x- y 丨时，显然I f (x) - f (y )1<1 f (x )I +1 f (y )I <KII fIIW1,r(Q)< KA-九 I x一 y I九 II f II0W1,r (Q)3.2 紧中紧性原理定义设序列 u ukJL1(Rn)，且u > 0 a.e.在Rn中，卩是Rn上的测度。如果k申u dxT J 申d卩e L(Rn)p|C(Rn)Rn kRn则称序列 U 弱收敛于测度卩，记为U iTpkk定理(集中紧性原理)1 < p < n，p*, Q是Rn中的一个有界区域, n - pk0 u 是W1,p(Q)中的有界序列，在Q外视u = 0， u 满足下列条件 kkU T UkU T UkU T UkU T Uk在 W1,P (Rn )中,0在 Lp*( Rn )中, 在 Lp (Rn)中， 在R冲，I DU Ip 卩,VkI U Ip* e-T v,k其中卩，v均是Rn上的有界(Lebesgue一Stieltjes)测度，那么(i)存在最多可数的指标集J,不同点的集合x uRn及j jeJv u (0o)，使得j je Jv =I U I p* +工 v OjxjeJ(ii)存在R > SV卡使得jjR >1 Du Ip +v 6 ,j x j心 J其中S为sobolev嵌入Wi,p(0) u Lp*(0)的最佳常数，即0II DuIIpS = inf - p0工ueW 1，p (0)11 U 11 p0p*2.3 结论参考文献1 王元明，徐君祥.索伯列夫空间.东南大学出版社.20032 路文端.微分方程中的变分方法.科学出版社.20033吴新民.Sobolev空间及推广.邵阳高等专科学校学报.2000.94吴春兰，朱维宗.Sobolev空间嵌入定理.云南师范大学学报.1999.95 邢家省，张源章，崔玉英.一维区域上的 Sobolev 空间的嵌入定理.河南科学.2009.46王向东，粱汲廷，戎海武.索伯列夫空问论M.北京：科学出版社，20037李荣华.偏微分方程数值解法M.北京：高等教育出版社，2005 8 R. AAarns著.索伯列夫空间.叶其孝等译，人民教育出皈社，1981