一元二次不等式及其解法.ppt

要点梳理 1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：,7.2 一元二次不等式及其解法,基础知识 自主学习,2.用程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c0 (a0)的求解的算法过程为,x|xx1,x|xR,x|xx2,x|x1 <x<x2,3.上述不等式ax2+bx+c0 (<0)中的a均大于0,若a<0, 则可先进行转化，使x2的系数为正,但一定注意在转 化过程中，不等号的变化.,基础自测 1.不等式 的解集为 （ ） A. B. C. D.,解析 不等式 同解于 又相应方程 的两根为 故原不等式的解集为 答案 A,2.设二次不等式ax2+bx+10的解集为x|-1<x< , 则ab的值为 （ ） A.-6 B.-5 C.6 D.5 解析 因x=-1, 是方程ax2+bx+1=0的两根, a=-3,b=-2,ab=6.,C,3.(2009四川理，1)设集合S=x|x|<5,T=x|x2+ 4x-21<0,则ST= （ ） A.x|-7<x<-5 B.x|3<x<5 C.x|-5<x<3 D.x|-7<x<5 解析 S=x|-5<x<5,T=x|-7<x<3, ST=x|-5<x<3.,C,4.不等式 的解集是 （ ） A.(-,-1)(-1,2 B.-1,2 C.(-,-1)2,+) D.(-1,2 解析 (x-2)(x+1)0且x-1 -1<x2.,D,5.若集合A=x|ax2-ax+10时，相应二次方程中 的=a2-4a0,解得0<a4, 综上得 a|0a4.,D,题型一 一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式： (1)2x2+4x+3<0; (2)-3x2-2x+80; (3)8x-116x2. 首先将二次项系数转化为正数，再看二 次三项式能否因式分解，若能,则可得方程的两根, 大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“”, 利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解 （1）=42-423=16-24=-8<0. 方程2x2+4x+3=0没有实根. 2x2+4x+3<0的解集为 . （2）原不等式等价于3x2+2x-80 (x+2)(3x-4)0 x-2或x 不等式的解集为(-,-2 ,+). （3）原不等式等价于16x2-8x+10 (4x-1)20. 只有当4x-1=0,即 时不等式成立， 故不等式解集为,探究提高 解一元二次不等式的一般步骤是:(1)化 为标准形式;(2)确定判别式的符号;(3)若0,则 求出该不等式对应的二次方程的根,若<0，则对应 的二次方程无根;(4)结合二次函数的图象得出不等式 的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项 式能分解因式,则可立即写出不等式的解集.,知能迁移1 解下列不等式： 解 （1）两边都乘以-3，得3x2-6x+20,且方程3x2-6x+2=0的解是 所以原不等式的解集是,(2)方法一 原不等式即为16x2-8x+10, 其相应方程为16x2-8x+1=0, =(-8)2-416=0, 上述方程有两相等实根 结合二次函数y=16x2-8x+1的图象知, 原不等式的解集为R. 方法二 8x-116x2 16x2-8x+10 (4x-1)20, xR,不等式的解集为R.,题型二 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】已知不等式 (aR). (1)解这个关于x的不等式; (2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围. 讨论a的取值,首先看是否可化为一元二 次不等式，其次看根的大小.,思维启迪,解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)0. 当a=0时,由-(x+1)0,得x0时,不等式化为 解得x 当a<0时,不等式化为 若 即-1<a<0,则 若 即a=-1,则不等式解集为空集; 若 即a<-1,则,综上所述,a0时,解集为 (2)x=-a时不等式成立, 即-a+11,即a的取值范围为（1，+）.,探究提高 (1)含参数的一元二次不等式可分为两种 情形:一是二次项系数为常数,参数在一次项或常数项 的位置,此时可考虑分解因式,再对参数进行讨论，若 不易分解因式,则要对判别式分类讨论,分类应不重 不漏;二是二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是 否为0,然后再讨论二次项系数不为0的情形,以便确定 解集的形式.注意必须判断出相应方程的两根的大小, 以便写出解集. (2)含参数不等式的解法问题,是高考的重点内容，主 要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想.,知能迁移2 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a30. 解 原不等式可变形为(x-a)(x-a2)0, 则方程(x-a)(x-a2)=0的两个根为x1=a,x2=a2. 当aa2, 此时原不等式的解集为x|xa2; 当0a2,xa, 此时原不等式的解集为x|xa; 当a1时,有a2a,xa2, 此时原不等式的解集为x|xa2; 当a=0时,有x0, 原不等式的解集为x|xR且x0;,当a=1时,有x1, 此时原不等式的解集为x|xR且x1. 综上可知:当a1时, 原不等式的解集为x|xa2; 当0a; 当a=0时,原不等式的解集为x|x0; 当a=1时,原不等式的解集为x|x1.,题型三 一元二次不等式的应用 【例3】某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价 上涨x成,每月卖出数量减少y成,每月售货总金额变 成现在的z倍. (1)用x和y表示z; (2)设y=kx(0<k<1),利用k表示当每月售货总金额最 大时x的值; (3)若 求使每月售货总金额有所增加的x值的 范围. 通过代数化简,将问题转化成解一元二次 不等式问题.,思维启迪,解 (1)按现在的定价上涨x成时,上涨后的定价为 元,每月卖出数量为 件, 每月售货总金额是npz元, 因而 所以 (2)在y=kx的条件下， 整理可得 由于0<k<1,所以 所以使z值最大的x的值是,(3) 要使每月售货总金额有所增加，即z1， 应有 即x(x-5)<0， 解得0<x<5,所以所求x的范围是（0，5）. 不等式应用题常以函数的模型出现，多 是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题,在解 题中涉及到不等式的解及有关问题，解不等式的应用 题，要审清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是 解不等式应用题的关键.,探究提高,知能迁移3 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控, 实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不征 收附加税时，每年大约产销100万瓶,若政府征收 附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率R%),则 每年的销售收入将减少10R万瓶,要使每年在此项经 营中所收附加税金不少于112万元,问R应怎样确定?,解 设每年销售量为x万瓶，则销售收入为每年70 x 万元， 从中征收的税金为70 xR%万元，其中x=100-10R. 由题意，得70（100-10R）R%112, 整理，得R2-10R+160. =360，方程R2-10R+16=0的两个实数根为 x1=2,x2=8. 然后画出二次函数y=R2-10R+16的图象， 由图象得不等式的解为2R8.,题型四 一元二次不等式的恒成立问题 【例4】（12分）已知不等式mx2-2x-m+1<0. （1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范 围； （2）设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立, 求x的取值范围. （1）由于二次项系数含有字母，所以首 先讨论m=0的情况，而后结合二次函数图象求解. （2）转换思想将其看成关于m的一元一次不等式， 利用其解集为-2，2，求参数x的范围.,思维启迪,解 （1）不等式mx2-2x-m+1 时，不等式恒成立,不满足题意； 3分 当m0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即 综上可知不存在这样的m. 6分,(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式, 可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式， 并且已知它的解集为-2,2,求参数x的范围. 7分 设f(m)=(x2-1)m+(1-2x), 则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线, 由题意知该直线当-2m2时线段在x轴下方，,探究提高 （1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变 量，求谁的范围，谁就是参数. （2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒 小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在x轴下方.,知能迁移4 已知f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时, f(x)a恒成立，求a的取值范围. 解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2, 此二次函数图象的对称轴为x=a, 当a(-,-1)时，结合图象知，f(x)在-1,+) 上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3, 要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina, 即2a+3a,解得a-3,又a<-1, -3a<-1.,当a-1，+）时，f(x)min=f(a)=2-a2, 由2-a2a,解得-2a1. 又a-1,-1a1. 综上所述，所求a的取值范围为-3a1. 方法二 由已知得x2-2ax+2-a0在-1，+）上恒 成立，令g(x)=x2-2ax+2-a, 即=4a2-4(2-a)0或 解得-3a1.,1.解一元二次不等式时,首先要将一元二次不等式化 成标准型，即ax2+bx+c0或ax2+bx+c0. 如解不等式6-x25x时首先化为x2+5x-60或ax2+bx+c0)与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,（1）知道一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以写出对 应不等式的解集； （2）知道一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0或ax2+ bx+c<0的解集.,1.一元二次不等式的界定.对于貌似一元二次不等式 的形式要认真鉴别.如： 解不等式（x-a)(ax-1)0，如果a=0它实际上是一个 一元一次不等式； 只有当a0时它才是一个一元二次不等式. 2.当判别式0 (a0)解集为R; ax2+bx+c0)解集为 .二者不要混为一谈.,失误与防范,一、选择题 1.(2009陕西理,1)若不等式x2-x0的解集为M,函 数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N,则MN为 ( ) A.0,1) B.(0,1) C.0,1 D.(-1,0) 解析 不等式x2-x0的解集M=x|0 x1,f(x)= ln(1-|x|)的定义域N=x|-1<x<1, 则MN=x|0 x<1.,定时检测,A,2.已知不等式ax2-bx-10的解集是 则不等 式x2-bx-a<0的解集是 （ ） A.(2,3) B.(-,2)(3,+) C. D. 解析 由题意知 是方程ax2-bx-1=0的根,所 以由韦达定理得 解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集 为(2,3).,A,3.已知p:关于x的不等式x2+2ax-a0的解集是R,q:-10的解集是R等价于4a2+4a<0, 即-1<a<0.,C,4.设命题p:|2x-3|<1,q: 则p是q的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 不等式|2x-3|<1的解是1<x<2, 不等式 的解是1x<2.,A,5.设f(x)= 若f(t)2,则实数t的取值 范围是 （ ） A.（-,-1）(4,+) B.(-,2)(3,+) C.(-,-4)(1,+) D.(-,0)(3,+) 解析 由题意知t2-2t-12且t0,或-2t+62且t3或t<0.,D,6.在R上定义运算：x*y=x(1-y).若不等式（x-a）* (x+a)<1对任意实数x恒成立，则 （ ） A.-1<a<1 B.0<a<2 C. D. 解析 依题设得x-a-x2+a2<1恒成立，,C,二、填空题 7.若函数f(x)是定义在（0,+）上的增函数，且对 一切x0,y0满足f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+6)+ f(x)0,x0,所以0<x<2.,(0,2),8.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_. 解析 令f(x)=x2+ax+a2-1, 二次函数开口向上，若方程有一正一负根， 则只需f(0)<0,即a2-1<0, -1<a<1.,-1<a<1,9.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(bR),若当x-1,1 时，f(x)0恒成立,则b的取值范围是_. 解析 依题意，f(x)的对称轴为x=1,又开口向下， 当x-1，1时，f(x)是单调递增函数. 若f(x)0恒成立， 则f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+10, 即b2-b-20,(b-2)(b+1)0, b2或b<-1.,b2或b<-1,三、解答题 10.解不等式： 解 原不等式等价于 解得x2+3x0,即-3x0. 解得x1或x< 故原不等式的解集为,11.解关于x的不等式ax2-22x-ax (aR). 解 原不等式变形为ax2+(a-2)x-20. (1)当a=0时，原不等式变为-2x-20, 故其解集为x|x-1； (2)当a0时，不等式即为(ax-2)(x+1)0. 当a0时，不等式即为 故其解集为 当a<0时，不等式即为,当-20时，解集为 当-2<a<0时，解集为 当a=-2时，解集为x|x=-1; 当a<-2时，解集为,12.已知二次函数 f(x)=ax2+x,若对任意x1、x2R,恒 有 f(x1)+f(x2)成立，不等式f(x)<0的解 集为A. (1)求集合A； (2)设集合B=x|x+4|<a,若集合B是集合A的子集, 求a的取值范围. 解 （1）对任意x1、x2R,要使上式恒成立，所以a0. 由f(x)=ax2+x是二次函数知a0,故a0. （2）B=x|x+4|0， a的取值范围为,返回,