高等数学A教学课件：4_4_1-2二阶线性微分方程

4 4.4 4 二二阶阶线线性性微微分分方方程程二阶线性微分方程的一般形式为)x(fy)x(ay)x(ay)x(a21 ，其中)x(f称为自由项。（1）当0)x(f时，称为二二阶阶线线性性齐齐次次方方程程，这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边的每一项（2）当0)x(f时，称为二二阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程。例 1判定下列方程是否是二阶线性微分方程。（1）0y6y5y；（2）xsinyy3y；（3）0 x5dtdx3dtxd222；（4）0ycosy。解：（1）、（3）是二阶线性微分方程，（2）、（4）不是二阶线性微分方程。（一）（一）函数的线性相关性函数的线性相关性定义定义 1 1 设函数)x(y,),x(y),x(ym21在区间 I 上有定义，若存在不全为零的常数m21k,k,k，使当Ix时，有 0)x(yk)x(yk)x(ykmm2211，则称函数)x(y,),x(y),x(ym21在区间 I 上线性相关线性相关。否则就称)x(y,),x(y),x(ym21在区间 I 上线性无关线性无关。4.4.14.4.1 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构 定义定义 2 2 称)x(y)x(y)x(y)x(y)x(y)x(y)x(y)x(y)x(y)x(wm)1m(2)1m(1)1m(m21m21 为函数)x(y,),x(y),x(ym21的朗斯基行列式朗斯基行列式。结论结论 若)x(y,),x(y),x(yn21为 n阶线性齐次方程 的 n个解，则)x(y,),x(y),x(yn21在区间 I 上线性 相关的充分必要条件是Ix ,0)x(w。定定理理 1 1 函数)x(y),x(y21在区间 I 上线性相关的充分必要条件是在区间 I 上)x(y)x(y21与之比为一常数 k ，即k)x(y)x(y21或k)x(y)x(y12。由定理 1 可得：若k)x(y)x(y21（或k)x(y)x(y12），则与)x(y1)x(y2线性无关。例 2判别下列两组函数哪些是线性无关的？（1）xloga，2axlog；（2）xe，xxe。解：（1）（方法一方法一）取2k1，1k2，则 0 xlog2xlog2xlogkxlogkaa2a2a1，xloga与2axlog线性相关。（方法二方法二）)(21loglog2常数xxaa，xalog与2log xa线性相关。（方法二方法二）常数 x1xeexx，xe与xxe线性无关。（2）（方法一方法一）设0 xekekx2x1，即0)xkk(e21x，0ex，故0 xkk21，则必有0kk21，xe与xxe线性无关。（2）若)x(y)x(y21和是二阶线性非齐次方程的两个解，则)x(y)x(yy21 为对应的齐次方程的解。（二）（二）二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构 设二阶线性齐次方程为0y)x(ay)x(ay)x(a21 二阶线性非齐次方程为)x(fy)x(ay)x(ay)x(a21 （1）若)x(y)x(y21和是二阶线性齐次方程的两个解，则)x(yC)x(yCy2211 仍为方程的解，其中21C ,C为两个常数。求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤：（1）求二阶线性齐次方程0y)x(ay)x(ay)x(a21 的两个线性无关的特解，得该方程的通解2211yCyCY。（2）求二阶线性非齐次方程)x(fy)x(ay)x(ay)x(a21 的一个特解y，则二阶线性非齐次方程的通解为yYy。上面结论也适合于一阶线性非齐次方程，还可推广到二阶以上的线性非齐次方程。定定理理 5（线线性性方方程程特特解解的的叠叠加加原原理理）若)x(y1是线性非齐次方程)x(fy)x(ay)x(ay)x(a121 的特解，)x(y2是线性非齐次方程)x(fy)x(ay)x(ay)x(a221 的特解，则 1y+2y 是线性非齐次方程)x(f)x(fy)x(ay)x(ay)x(a2121 的特解。例 3设线性无关的函数321y ,y ,y都是微分方程)x(fy)x(qy)x(py 的解，则此微分方程的通解为（）（21C,C为任意常数）.（A）32211yyCyC；（B）3212211y)CC(yCyC；（C）3212211y)CC1(yCyC；（D）3212211y)CC1(yCyC。解：321y ,y ,y都是方程)x(fy)x(qy)x(py 的解，21yy 和32yy 是方程0y)x(qy)x(py 的解。321y ,y ,y线性无关，31yy，32yy 也线性无关，)yy(C)yy(CY322311是方程0y)x(qy)x(py 的通解。3yy 是方程)x(fy)x(qy)x(py 的一个特解，方程)x(fy)x(qy)x(py 的通解为：3322311y)yy(C)yy(CyYy，即3212211)yCC(1yCyCy。故应选（D）。作作 业业 习习 题题 4.24.2（P244P244）1 1；2 2；3 3；4 44 4.4 4.2 2 二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程的的解解法法 若二阶线性微分方程为 )x(fcyybya ，其中c ,b ,a均为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程。（一）二阶常系数线性齐次方程的解法（一）二阶常系数线性齐次方程的解法其解法的特点是：不用积分只用代数方法就能求出方程的通解。猜想方程具有rxey 形式的解，其中r为待定常数，将rxrey，rx2ery ，rxey 代入方程，得0)cbrar(e2rx，但0erx，故有 0cyybya，0cbrar2，若r是一元二次方程的一个根，则rxey 就是方程的一个特解。方程叫做方程的特征方程特征方程。按特征方程的两个根1r，2r的三种可能情况：11r 2r是两个不相等的实根；21r=2r是两个相等的实根；3ir1，ir2是一对共轭复数。我们来分别讨论方程的通解。xr1e、xr2e是方程的特解，且x)rr(xrxr2121eee不为常数，它们是线性无关的，1特征方程的根是两个不相等实数的情形。特征方程的根是两个不相等实数的情形。2特征方程的根是两个相等实数的情形。特征方程的根是两个相等实数的情形。1r=2ra2br，只知一个特解xr1ey，还需找一个与1y线性无关的特解2y，方程的通解为 。xr2xr121eCeCy设)x(uy2rxe，)x(u为待定函数，将2y，)x(ru)x(ueyrx2，)x(ur)x(ur2)x(uey2rx2 代入方程得0)x(u)cbrar()x(u)bar2()x(ua e2rx，0erx，0cbrr a ,0bar22，0)x(u，取0)x(u 的一个解x)x(u，则rx2xey。方程的通解为rx2rx1xeCeCy，即 )xCC(ey21rx 。3 3特特征征方方程程的的根根是是一一对对共共轭轭复复数数的的情情形形。x)i(1ey、x)i(2ey是方程的特解，且xi2x)i(x)i(21eeeyy不为常数，它们是线性无关的，方程的通解为x)i(1eCy+x)i(2eC。)xsinix(coseyx1，)xsinix(coseyx2，由欧欧拉拉公公式式 可得sinicosei（其中 ,为特征方程的复根的实部及虚部）。xcose)yy(21yx211，xsine)yy(i 21yx212，函数1y和2y都是方程的解，且它们是线性无关的，方程的通解为2211yCyCy，即)xsinCxcosC(ey21x（1）由微分方程写出对应的特征方程（代数方程）；（2）求解特征方程的根；（3）按特征根的情况（单根、重根、共轭复根）写出微分方程的通解：特征方程 0cbrar2，方程 0cyybya 的通解0ac4b2两个不相等的实根21r ,rxr11eCy+xr22eC0ac4b2相等实根rrr211rxC(ey+)xC20ac4b2一对共轭复数i,r21xcosC(ey1x+)xsinC2小结：用特征根法求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤：小结：用特征根法求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤：例 4求下列方程的通解（1）0y3y4y 解：其特征方程为03r4r2，0)3r)(1r(，特征根为1r1，3r2，方程的通解为x1eCy+x32eC。（2）0y9y12y4 解：其特征方程为09r12r42，特征根为23rr21，方程的通解为)xCC(ey21x23。（3）0y2y2y 解：其特征方程为02r2r2，特征根为,r1i 12i 42r2，方程的通解为)xsinCxcosC(ey21x。2)0(y，6)0(y的特解。解：其特征方程为03r4r2，1r1，3r2，例 5求方程0y3y4y 的满足初始条件故方程的通解为x32x1eCeCy，x32x1eC3eCy，将初始条件2)0(y，6)0(y代入上面两式，得4C6CC3C6CC2212121故所求特解为x3xe4e6y。（二二）高高阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次方方程程的的解解法法n阶常系数线性齐次方程为0yayayayan1n)1n(1)n(，其特特征征方方程程为 0arararan1n1n1n.方程是一个一元n次方程，有n个根。类似二阶常系数线性齐次方程，相应地可得到方程的n个线性无关的解，把这n个线性无关的解分别乘以任意常数后相加，即得方程的通解。特征方程的根特征方程的根方程通解中的对应项方程通解中的对应项单实根r给出一项 rxCek重实根r给出k项)xCxCC(e1kk21rx一对单复根ir2,1给出两项xsinCxcosCe21x一对k重复根ir2,1给出k2项 xcos)xCxCC(e1kk21x xsin)xDxDD(1kk21例 6求方程0y5y2y)4(的通解。解：特征方程为0r5r2r234，即0)5r2r(r22，故方程的通解为特征根为0r2,1（2 重）；i 21r4,3。)x2sinCx2cosC(exCCy43x21。例 7具有特解形式x1ey，x2xe2y，x3e3y 的 三阶常系数齐次微分方程是（）（A）0yyyy ；（B）0yyyy ；（C）0y6y11y6y ；（D）0y2yy2y 。B解：由方程的特解可知齐次方程对应的特征方程 的特征根为1r2,1，1r3，于是特征方程为0)1r()1r(2，即01rrr23，故三阶常系数齐次微分方程为0yyyy 。作作 业业 习习 题题 4.24.2（P244P244）5 5；6(1)(3)(5)(7)6(1)(3)(5)(7)；7(2)7(2)；8 8；9 9