《线性第十一讲》PPT课件.ppt

第十一讲 矩阵的秩,一、矩阵的秩的概念,定义：在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式,显然，mn 矩阵 A 的 k 阶子式共有 个,1、矩阵的 k 阶子式,与元素a12相对应的余子式,相应的代数余子式,矩阵 A 的一个 2 阶子式,概念辨析： k 阶子式、余子式、代数余子式,定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A),矩阵 A 的秩就是 A 中最高阶非零子式的阶数,规定：零矩阵的秩等于零,2、矩阵的秩,说明：,1) 如果矩阵 A 中所有 r +1 阶子式都等于零，则所有 高于r +1 阶的子式（如果存在的话）也都等于零 2) 若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不等于零，则 R(A) s ； 若矩阵 A 中所有 t 阶子式等于零，则 R(A) < t 3) 若 A 为 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即|A| 当|A|0 时， R(A) = n ; 可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵 当|A| = 0 时， R(A) < n ; 不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵,例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中,解：在 A 中，2 阶子式 ,A 的 3 阶子式只有一个，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ,例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中,解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此其 4 阶子式全为零,以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式,，因此 R(B) = 3 ,结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数,二、矩阵的秩的计算,例：求矩阵 A 的秩，其中 ,分析：在 A 中，2 阶子式 ,A 的 3 阶子式共有 (个)， 要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的,一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 .,行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.,一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.,两个等价的矩阵的秩是否相等？,定理：若 A B，则 R(A) = R(B) ,应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把 矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 该矩阵的秩,例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个 最高阶非零子式,解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ,第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列,，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列,R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式,因此这就是 A 的一个最高阶非零子式,分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯 形矩阵为 ，则 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从 中同时看出R(A)及 R(B) ,例：设 ，求矩阵 A 及矩阵 B = (A, b) 的秩,解：,R(A) = 2 R(B) = 3,三、矩阵的秩的性质,若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若 A B，则 R(A) = R(B) 若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(B) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若 Amn Bnl = O，则 R(A)R(B)n ,作 业： 习题三：10（1，3），12,