《算法案例---秦九韶算法》课件月艳波

1.3算法案例,秦九韶算法,2020/9/20,1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ ）和（ ）。 2、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706,复习引入:,2020/9/20,新课讲解:,思考,怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？,2020/9/20,计算多项式() = 当x = 5的值的算法：,算法1：,因为() =,所以(5)=55555,=3125625125255,= 3906,算法2：,(5)=55555,=5(5555 ) ,=5(5(555 ) ) ,=5(5(5(5+5 +) + ) + ) +,=5(5(5(5 (5 +) + )+)+) +,分析：两种算法中各用了几次乘法运算？和几次加法运算？,2020/9/20,算法1：,算法2：,共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。,共做了4次乘法运算，5次加法运算。,2020/9/20,问题1能否探索出更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?,f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,2020/9/20,数书九章秦九韶算法,对该多项式按下面的方式进行改写：,思考：当知道了x的值后该如何求多项式的值？,这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？,2020/9/20,要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即,然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即,最后的一项是什么？,这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。,思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？,2020/9/20,例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.,解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5 v2=v1x-4=55-4=21 v3=v2x+3=215+3=108 v4=v3x-6=1085-6=534 v5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,2020/9/20,2 -5 -4 3 -6 7,x=5,10,5,25,21,105,108,540,534,2670,2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,原多项式的系数,多项式的值.,例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.,解法二:列表,2,2020/9/20,例： 已知一个五次多项式为,用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。,解：,将多项式变形：,按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：,所以，当x = 5时，多项式的值等于14130.2,你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？,2020/9/20,点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法. 它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值, 减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.,2020/9/20,程序框图：,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。,2020/9/20,(1)、算法步骤：,第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.,第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.,第三步：输入i次项的系数an.,第四步：v=vx+ai, i=i-1.,第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。,思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来吗？,2020/9/20,（2）程序框图：,2020/9/20,（3）程序：,INPUT “n=”；n INPUT “an=“;a INPUT “x=“;x v=a i=n-1 WHILE i=0 PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END,2020/9/20,1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10 x3+10 x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。,练习：,2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。,2020/9/20,课堂小结： 1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的程序框图,2020/9/20,作业: 课本P45页练习第2题; P48页A组第2题。,2020/9/20,