量子力学第2章

第二章：函数与波动方程P69 当势能改变一常量C时,即,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否? (解)设原来的薛定谔方程式是 将方程式左边加减相等的量得: 这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解,从能量本征值来说,后者比前者增加了C。设粒子势能的极小值是Vmin 证明 (证)先求粒子在某一状态中的平均值能量其中动能平均值一定为正: = =用高斯定理: =中间一式的第一项是零,因为假定满足平方可积条件,因而因此 ,能让能量平均值 因此令(本征态)则而得证2.1设一维自由粒子的初态， 求。解： 2.2对于一维自由运动粒子，设求。 （解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是，能量是E，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数： （1）这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令应有 （2）但按题意，此式等于。但我们知道一维函数一种表示是： （3）将（2）（3）二式比较：知道，并且求得，于是（1）成为 （4）这是符合初条件的波函数，但之间尚有约束条件（因为是自由粒子，总能量等于动能），代入（4） （5）将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果： 利用积分 ： 写出共轭函数（前一式变号）： 本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为：用课本公式得，两者相乘，可得相同的结果。2.2 设一维自由粒子的初态，求。提示：利用积分公式 或 。解：作Fourier变换： ， （） 令 ，则 。2.3 设一维自由粒子初态为，证明在足够长时间后式中 是的Fourier变换。提示：利用 。证：根据平面波的时间变化规律 ， ，任意时刻的波函数为 （1）当时间足够长后（所谓） ，上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取 ， ， （2）参照本题的解题提示，即得 （3） （4）物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在处的主要成分为，即，强度，因子描述整个波包的扩散，波包强度。设整个波包中最强的动量成分为，即时最大，由（4）式可见，当足够大以后，的最大值出现在处，即处，这表明波包中心处波群的主要成分为。2.41.72.5设质量为的粒子在势场中运动。（a）证明粒子的能量平均值为 ， （能量密度）（b）证明能量守恒公式 ， （能流密度） 证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化） （1） （2）其中的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此 （3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 （4）且能量平均值 。（b）由（4）式，得 （ ：几率密度） （定态波函数，几率密度不随时间改变）所以 。粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式： 又设则有公式得证。2.6考虑单粒子的Schrödinger方程 （1）与为实函数。（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为证：（a）式（1）取复共轭， 得 （2） （1）-（2）,得 （3）即 ，此即几率不守恒的微分表达式。利用高斯定理将右方第一项变形： （3）如果粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积条件，则在无限远处，因而（3）式的面积分等于0。 （4）这证明总几率不守恒，因为。（b）式（3）对空间体积积分，得上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（ ） ，而第二项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.71.82.8在非定域势中粒子的薛定谔方程式是： （1）求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数在空间一点的几率波是否存在？ 解按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出应当遵守的要求。几率守恒的条件是： 或 (2 )与13题类似，可写出1的共轭方程式： (3 )将1和3中的和想等同的式子代入到2式中去，就得到如下的条件：将前式等号左方第一项变成面积分高斯定理，第二项变成六重积分： (4 )前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件（）可消去，因和形式相同,对易： （5）这积分式定积分，它等于零的可能性要求被积函数为零，即： 因此必须是实函数。2.9设N个粒子的哈密顿量为： 是它的任一态函数，定义： 求证： 证明按定义： 多粒子的体系的状态应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其共轭方程式： （6a） (6b)将前二式等式右方的式子代替左方的，代进式 又待证的公式的等号左方第二项是： 将式两个求和合一，注意到的项不存在，因而等值异号。2.10*设在曲线坐标（）中线元ds表为，写出这曲线坐标中的薛定谔方程式，写出球面坐标系中的薛定谔方程式。（解）同样关于y,z有类似的二式。（这里为书写方便q的上标改成下标。）*参看Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11令为坐标变换系数：设沿曲线坐标等势面的单位矢量是则 （1）代入直角坐标薛定谔方程式： （2）但 在球坐标情形式正交坐标系代入后得 化简得2.111.32.11 写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。解：经典能量方程 在动量表象中，只要作变换，所以在动量表象中，Schrödinger为： 。 2.11写出动量表象中的薛定谔方程式。解：本题可有二种：A：含时间薛定谔方程式，B:定态薛定谔方程式。A：写出含时间薛氏方程式： （1）为将前式变换成动量表象，可写出含时间的表象变换式： （2） （3）为了能用（3）变换（1）式，将（1）式遍乘，对空间积分： 左方变形 (4)等号右方第一积分是可以用三重积分的分部积分来变形的，这式写成标量： (5)计算（5）的x部分分部积分法：关于的积分按同法计算，（5）式的结果是再计算（4）式右方第二积分 （7）但最后一个积分中指坐标空间，指动量相空间，最后将（4）（6）（7）综合起来就得到动量表象的积分方程式如下： （8）若要将定态薛定谔方程式从坐标表象变成动量表象，运算步骤和上面只有很少的差别，设粒子能量为E，坐标表象的薛氏方程： 动量表象方程也是积分方程式，其中G（）是这个方程式的核（Kernel） （9）2.12， 2.13，没找到