《数理方程》PPT课件

3-3 贝塞尔方程的级数解贝塞尔方程的级数解n用级数解法来求贝塞尔方程在用级数解法来求贝塞尔方程在x=0的邻域中的的邻域中的级数解级数解222()0 x yxyxy贝塞尔方程：贝塞尔方程：将方程改写为：将方程改写为：221(1)0yyyxx1()p xx22()1q xx 可知：可知：x=0是是p(x)的一阶极点，是的一阶极点，是q(x)的二阶极点，故的二阶极点，故x=0是方程的正则奇点。是方程的正则奇点。在正则奇点邻域内求方程级数解的在正则奇点邻域内求方程级数解的一般步骤一般步骤：第第1步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；第第2步：写出第一解形式，将其代入系数写为泰勒级数形式的方程；步：写出第一解形式，将其代入系数写为泰勒级数形式的方程；第第3步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系：步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系：由最低次幂项系数得到判定方程；由一般次幂项系数得到系数间递推关系。由最低次幂项系数得到判定方程；由一般次幂项系数得到系数间递推关系。第第4步：根据判定方程和递推关系求出方程第一解；由判定方程两个根（即步：根据判定方程和递推关系求出方程第一解；由判定方程两个根（即 和和 ）的关系，写出方程第二解形式，根据不同形式分别求解。的关系，写出方程第二解形式，根据不同形式分别求解。第第1步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；本例中，本例中，()()1P xp xx222()()Q xq xxx 所以，这两个函数已经展成了泰勒级数，其中系数所以，这两个函数已经展成了泰勒级数，其中系数02021,0(1),1,0(0,2)nnPPnQQQn 按正则奇点邻域中级数解法的有关定理，方程的解应具有按正则奇点邻域中级数解法的有关定理，方程的解应具有第第2步：写出第一解形式，将其代入系数写为泰勒级数形式的方程；步：写出第一解形式，将其代入系数写为泰勒级数形式的方程；设第一解为：设第一解为：求出：求出：1210002000()()()()()()nnnnnny xxxaxxyxxxb xx或：或：1210002010000 ()()()()()ln()()()nnnnnny xxxaxxyxc y xxxxxb xx00()0nnny xxc xc10()nnnycn x 20()(1)nnnycnnx 代入贝塞尔方程代入贝塞尔方程222()0 x yxyxy得：得：22122000()(1)()()0nnnnnnnnnxcnnxxcn xxxc x 22200()0nnnnnnnc xc x 00()0nnny xxc xa10()nnnycn x 20()(1)nnnycnnx 220000()(1)()0nnnnnnnnnnnncnnxcn xc xc x 2200()(1)()0nnnnnnnnnc xc x 22200()0nnnnnnnc xc x求判定方程：令求判定方程：令n=0，得到最低次幂项的系数为：，得到最低次幂项的系数为：22令其等于令其等于0，得：，得：220判定方程判定方程第第3步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系：步：比较系数，得到判定方程和系数之间的递推关系：求系数之间递推关系：由一般次幂项求系数之间递推关系：由一般次幂项 系数求得系数求得kx222 22()0kkkkkc xcx 222()0kkkkccx222()0kkkcc2221()kkcck 递推公式递推公式22200()0nnnnnnnc xc x第第4步：根据判定方程和递推关系求出方程第一解和第二解。步：根据判定方程和递推关系求出方程第一解和第二解。它的两个根分别是：它的两个根分别是：12 两根之差为：两根之差为：122由此可见，参数由此可见，参数 将决定方程两个线性独立解的形式。将决定方程两个线性独立解的形式。判定方程：判定方程：将第一个根将第一个根 代入方程，并利用递推关系式，便可求出方程的第一解；代入方程，并利用递推关系式，便可求出方程的第一解；而方程的第二解与判定方程的两根之差有关。而方程的第二解与判定方程的两根之差有关。下面，根据方程两根之差的不同情况，讨论两个解的求解过程。下面，根据方程两根之差的不同情况，讨论两个解的求解过程。22011.整数、半整数时的解整数、半整数时的解此时，此时，整数。整数。12根据定理可知，两个根的形式为根据定理可知，两个根的形式为121(2)kkcckk 先求第一解。先求第一解。第一解对应判定方程的第一个根：第一解对应判定方程的第一个根：将其代入递推关系式：将其代入递推关系式：得：得：可见，待定系数可见，待定系数 将可以依次类推，用将可以依次类推，用 表示；表示；2kc0c21kc可用可用 表示。表示。1c1210002000()()()()()()nnnnnny xxxaxxyxxxb xx2221()kkcck 下面求用下面求用 表示表示 的公式。由递推公式可得：的公式。由递推公式可得：0c2kc200112(22)2 2(1)ccc 422114(24)2 2 2(2)ccc 22242411(22)(222)2(1)2(1)kkkccckkkk 22222112(22)22()kkkccckkkk 将以上等式的左右两边分别相乘，消去相同因子，即可得：将以上等式的左右两边分别相乘，消去相同因子，即可得：2021(1)2!(1)(2).()kkkcckk 21(2)kkcckk 将将 代入，得：代入，得：下面求用下面求用 表示表示 的公式。重写系数关系式：的公式。重写系数关系式：21(2)kkcckk 1c21kc由由 的系数，得：的系数，得：1x221(1)0c（由于级数从（由于级数从 次项开始，对应的系数为次项开始，对应的系数为 ，之前，之前的系数均为的系数均为0。因此第二项舍去）。因此第二项舍去）1(21)0c因此，有：因此，有：10c x0c222()0kkkcc21(2)kkcckk 21212311(21)(221)11 (21)(221)(21)(221).11 (1).(21)(221)3(23)0kkkkcckkckkkkckk 由递推公式可得：由递推公式可得：得到方程第一解为：得到方程第一解为：2100(1)()()!(1)(2).()2kkkxy xc xkk将将 和和 代入第一解代入第一解2021(1)2!(1)(2).()kkkcckk 210kc100()nknknky xxc xc x(1)()(1)(1).(1)(1)!nn（）通常将通常将 取为：取为：0c012(1)c 函数性质：函数性质：当当 （n为整数）时：为整数）时：n把这样的把这样的 记作记作1yJ()x210(1)J()()()!(1)2kkkxxy xkk称为称为+阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数J()x此时，另一个线性独立的解应对应此时，另一个线性独立的解应对应2 2200(1)()()!(1)(2).()2kkkxyxc xkk2100(1)()()!(1)(2).()2kkkxy xc xkk将其代入第二解形式（与第一解形式相同），可得：将其代入第二解形式（与第一解形式相同），可得：(1)1得到得到 阶的贝塞尔函数阶的贝塞尔函数 为：为：通常也将通常也将 取为：取为：0c012(1)c 220(1)J()()()!(1)2kkkxxyxkk J()x最后，非整数半整数阶的贝塞尔方程的通解就是最后，非整数半整数阶的贝塞尔方程的通解就是 和和 的线性组合。的线性组合。J()xJ()x12()J()J()y xcxcx2.=整数时的解整数时的解判别方程的两根之差为判别方程的两根之差为12()2nnn 第一个解只需将第一个解只需将 里的里的 换成换成n 210(1)J()()()!(1)2kkkxxy xkk即为：即为：210(1)J()()()!(1)2knknkxxy xknk因为因为(1)()!nknk所以正整数阶的贝塞尔函数可写成所以正整数阶的贝塞尔函数可写成201J()(1)()!()!2knknkxxk nk当当n=1，2，3时，观察第二个解（时，观察第二个解（）：）：220(1)J()()()!(1)2knknkxxyxknk n 当当n=0时，很明显，只给出了同一个解。时，很明显，只给出了同一个解。前前k=0,1,2,n-1各项的系数均为各项的系数均为0，这是因为，这是因为x=0,-1,-2,都是都是 函数的一阶极点。函数的一阶极点。对对k之求和实际上从之求和实际上从k=n开始，即开始，即2(1)J()()!(1)2knkk nxxknk 令令m=k-n，将求和指标从，将求和指标从k换成换成m(m=0,1,2,)，则有，则有20201J()(1)()()!(1)21 (1)(1)()!()!2 (1)J()m nnmnmnmnmmnnxxmnmxm mnx 与第一解线性相关。与第一解线性相关。因此另一个解要取含对数项的形式。因此另一个解要取含对数项的形式。这个解称为诺依曼函数这个解称为诺依曼函数 ：N()nx120221(1)!N()ln(/2)J()()!21(1)1111 1.1.()!()!222nnknnkk nnkk nnkxxxCxkxk knknk 其中，其中，C为欧拉常数，为欧拉常数，C=0.577216最后，最后，=整数时的贝塞尔方程的通解应是整数时的贝塞尔方程的通解应是12()J()N()nny xcxcx 和和 有个重要性质：有个重要性质：J()xN()nx当当x-0时，有时，有J()x N()nx 因此，若在解贝塞尔方程时带有边界条件：要求解在因此，若在解贝塞尔方程时带有边界条件：要求解在x=0处有限，那么在两种情况处有限，那么在两种情况下，应分别舍去下，应分别舍去 和和 ，只取，只取 和和 。JN()nxJJn2()yx原则上，将原则上，将 代入贝塞尔方程，即可定出系数。代入贝塞尔方程，即可定出系数。Nn(x)函数也可用以下定义求得：函数也可用以下定义求得：()cos()()sin()()cos()lim ()sinJxJxYxJxJx不等于整数等于整数()cos()()limsinnnJxJxNx综上所述，贝塞尔函数的通解可表示为：综上所述，贝塞尔函数的通解可表示为：()()()y xAJxBYx()()JxYx：第一类贝塞尔函数：第二类贝塞尔函数3.=半整数时的解半整数时的解判别方程的两根之差为：判别方程的两根之差为：，也是整数，方程的形式同样要取，也是整数，方程的形式同样要取122在此只研究在此只研究 的特例。的特例。12此时方程为：此时方程为：222(1/2)0 x yxyxy这个方程的解可用初等函数表示，所以不用级数解法，可直接求解。这个方程的解可用初等函数表示，所以不用级数解法，可直接求解。对方程作如下变换：对方程作如下变换：1/2()(2/)()y xxu x代入原方程，化简得：代入原方程，化简得：0uu其通解为：其通解为：()sincosu xAxBx1210002010000 ()()()()()ln()()()nnnnnny xxxaxxyxc y xxxxxb xx将原方程的两个线性独立解分别记作将原方程的两个线性独立解分别记作 和和 ，1/2J()x1/2J()x1/21/2J()(2/)cosxxx1/21/2J()(2/)sinxxx方程的通解是这两个解的线性组合：方程的通解是这两个解的线性组合：1/21/21/21/2J()J()(2/)sin(2/)cosyAxBxAxxBxx可知：可知：由由1/2()(2/)()y xxu x和和()sincosu xAxBx总结总结n常点和正则奇点的概念常点和正则奇点的概念n用幂级数解法解二阶线性微分方程用幂级数解法解二阶线性微分方程q常点邻域常点邻域n将系数展开为常点邻域的泰勒级数形式；将系数展开为常点邻域的泰勒级数形式；n将（方程常点邻域内的）解展开为泰勒级数，代入微分方将（方程常点邻域内的）解展开为泰勒级数，代入微分方程；程；n比较系数，得到系数之间的递推关系；比较系数，得到系数之间的递推关系；n反复利用递推关系，求出系数的普遍表达式，最后得出级反复利用递推关系，求出系数的普遍表达式，最后得出级数解；数解；总结总结q正则奇点邻域正则奇点邻域n将系数展开为正则奇点邻域的级数形式；将系数展开为正则奇点邻域的级数形式；n将第一种级数形式（不包含对数部分）的解代入方程；将第一种级数形式（不包含对数部分）的解代入方程；n比较最低次项（指数为零），得到判定方程（指标方程）；比较最低次项（指数为零），得到判定方程（指标方程）；比较一般次项系数，得到递推公式；比较一般次项系数，得到递推公式；n反复利用递推公式，求出第一解系数的普遍表达式；反复利用递推公式，求出第一解系数的普遍表达式；n由判定方程两个根的关系，得出第二解形式，再用相同方由判定方程两个根的关系，得出第二解形式，再用相同方法求解：法求解：q两根之差不为整数时，第二解也不包含对数部分，将判定方两根之差不为整数时，第二解也不包含对数部分，将判定方程的第二解代入，即可求得；程的第二解代入，即可求得；q两根之差为整数时，第二解可能包含对数部分，设解为第二两根之差为整数时，第二解可能包含对数部分，设解为第二解形式（包含对数），代入方程中，用同样方法求解。解形式（包含对数），代入方程中，用同样方法求解。