高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题.doc

第一章 解三角形1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，则有： 2、正弦定理的变形公式：，；，；注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想DbsinAAbaC画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当a<bsinA，则B无解当bsinA<ab,则B有两解当a=bsinA或a>b时，B有一解注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有， ，5、余弦定理的推论：，(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设、是的角、的对边，则：若，则；若，则；CABD若，则7、正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，并测得ACB=75O, BCD=45O, ADC=30O, ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。 附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.练习题一、选择题1、在ABC中，10，B=60°,C=45°,则等于 （B ）ABCD 2、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为 A52B C16D43、在ABC中，若，则（ C ）A B C D 4 、在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ）Ab = 10，A = 45°，B = 70° Ba = 60，c = 48，B = 100°Ca = 7，b = 5，A = 80° Da = 14，b = 16，A = 45°5、已知ABC中，abc12，则ABC等于(A)A123B231C 1：3：2 D3：1：26、若ABC的周长等于20，面积是，A60°，则BC边的长是（ C ）A5 B6C7D8 二、填空题（每题5分,共25分）7、在中，已知，则_8、在ABC中，A=60°, b=1, 面积为，则= 9、在ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC= 10、在中，已知角、所对的边分别是、，边，且，又的面积为，则_三解答题（2小题，共40分）13、在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.知识点巩固练习（一）一、选择题1在ABC中，若，则等于（ ）A B C D2若为ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A B C D3在ABC中，角均为锐角，且则ABC的形状是（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 4等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（ ）A B C D5在中，若，则等于（ ）A B C D 6边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A B C D 二、填空题1在ABC中，则的最大值是_。2在ABC中，若_。3在ABC中，若_。4在ABC中，若，则_。三、解答题1 在ABC中，若则ABC的形状是什么？2在ABC中，求证：3在锐角ABC中，求证：。 知识点巩固练习（二）一、选择题1在ABC中，则等于（ ）A B C D 2在ABC中，若角为钝角，则的值（ ）A大于零 B小于零 C等于零 D不能确定 3在ABC中，若，则等于（ ）A B C D 4在ABC中，若，则ABC的形状是（ ）A直角三角形 B等边三角形 C不能确定 D等腰三角形 5在ABC中，若则 ( )A B C D 6在ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）A B C D 二、填空题1若在ABC中，则=_。2若是锐角三角形的两内角，则_（填>或<）。3在ABC中，若_。4在ABC中，若则ABC的形状是_。5在ABC中，若_。三、解答题1 在ABC中，求。2 在锐角ABC中，求证：。3 在ABC中，求证：。4 在ABC中，若，则求证：。5 在ABC中，若，则求证：知识点巩固练习（三）一、选择题1为ABC的内角，则的取值范围是（ ）A B C D 2在ABC中，若则三边的比等于（ ）A B C D3在ABC中，若，则其面积等于（ ）A B C D4在ABC中，则下列各式中正确的是（ ）A B C D5在ABC中，若，则（ ）A B C D 6在ABC中，若，则ABC的形状是（ ）A直角三角形 B等腰或直角三角形 C不能确定 D等腰三角形 二、填空题1在ABC中，若则一定大于，对吗？填_（对或错）2在ABC中，若则ABC的形状是_。3在ABC中，C是钝角，设则的大小关系是_。4在ABC中，若，则_。5在ABC中，若则B的取值范围是_。6在ABC中，若，则的值是_。三、解答题1在ABC中，若，请判断三角形的形状。2 如果ABC内接于半径为的圆，且求ABC的面积的最大值。3 已知ABC的三边且，求4在ABC中，若，且，边上的高为，求角的大小与边的长答案知识点巩固练习（一）一、选择题 1.C 2.A 3.C 都是锐角，则4.D 作出图形5.D 或 6.B 设中间角为，则为所求二、填空题 1. 2. 3. 4. ，令 三、解答题 1. 解：或，得或所以ABC是直角三角形。 2. 证明：将，代入右边 得右边左边， 3证明：ABC是锐角三角形，即 ，即；同理；知识点巩固练习（二）一、选择题 1.C 2.A ，且都是锐角， 3.D 4.D ，等腰三角形5.B 6.C ，为最大角，二、填空题 1. 2. ，即，3. 4. 锐角三角形 为最大角，为锐角5. 三、解答题1.解： ，而所以 2. 证明：ABC是锐角三角形，即 ，即；同理；3. 证明： 4证明：要证，只要证，即 而原式成立。 5证明： 即 即，知识点巩固练习（三）一、选择题 1.C 而2.B 3.D 4.D 则， ，5.C 6.B 二、填空题1. 对 则2. 直角三角形 3. 4 则5. 6 三、解答题1. 解： 等腰或直角三角形 2. 解： 另法： 此时取得等号3. 解：4. 解： ，联合 得，即 当时，当时，当时，当时，。解三角形单元测试题一、 选择题：1、在ABC中，a3，b，c2，那么B等于（）A30°B45°C60°D120° 2、在ABC中，a10，B=60°,C=45°,则c等于 （ ）ABCD 3、在ABC中，a，b，B45°，则A等于（）A30° B60° C30°或120°D 30°或150°4、在ABC中，a12，b13，C60°，此三角形的解的情况是（ ）A无解B一解C二解D不能确定 5、在ABC中，已知，则角A为（）AB CD 或6、在ABC中，若，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）ABCD 8、在ABC中，已知,那么ABC一定是 ()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形 9、ABC中，已知 60°，如果ABC 两组解，则x的取值范围( )ABCD 10、在ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC4：5：6,下列结论： 其中成立的个数是 ( )A0个B1个C2个D3个 11、在ABC中，,A30°，则ABC面积为 （ ）A BC或D或 12、已知ABC的面积为，且，则A等于 （ ）A30°B30°或150°C60°D60°或120° 13、已知ABC的三边长，则ABC的面积为 （ ）ACB30米20米ABCD 14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ） A450a元B225a元 C150a元D300a元 15、甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A分钟B分钟C21.5分钟D2.15分钟16、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ ）A5000米B5000米C4000米D 米17、在ABC中，°，°，C70°，那么ABC的面积为（ ）A BCD 18、若ABC的周长等于20，面积是，A60°，则BC边的长是（ ）A5 B6C7D8 19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）A B CD 20、在ABC中，若，则ABC是（ ）A有一内角为30°的直角三角形 B等腰直角三角形C有一内角为30°的等腰三角形D等边三角形 二、填空题21、在ABC中，若A:B:C=1:2:3,则 22、在ABC中，150°，则b 23、在ABC中，A60°，B45°，则a ；b 24、已知ABC中，121°，则此三角形解的情况是 25、已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 .26、在ABC中，则ABC的最大内角的度数是 三、解答题27、在ABC中，已知，A45°，在BC边的长分别为20，5的情况下，求相应角C。28、在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。29、在ABC中，证明：。30、在ABC中，cosC是方程的一个根，求ABC周长的最小值。解三角形单元测试答案一、选择题1-5. CBCBC 6-10. DBBCC 11-15. BDBDA 16-20. ACCBB二、填空题21、 22、7 23、, 24、无解 25、1 26、120°三、解答题27、解：由正弦定理得 （1）当BC20时，sinC； ° （2）当BC时， sinC； 有两解 或120°（3）当BC5时，sinC2>1； 不存在28、解：（1） C120° （2）由题设： 29、证明： 由正弦定理得： 30、解： 又是方程的一个根 由余弦定理可得： 则： 当时，c最小且 此时 ABC周长的最小值为31、解：（1）由 可得 即C90° ABC是以C为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径 内切圆半径的取值范围是1常见三角不等式（1）若，则.(2) 若，则.(3) .2.同角三角函数的基本关系式 ，=，.3.正弦、余弦的诱导公式(n为偶数)(n为奇数) (n为偶数)(n为奇数)4.和角与差角公式 ;.(平方正弦公式);.=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).45.二倍角公式 .21