1[1]5中点四边形

资中一中资中一中 朱德派朱德派2014.3.231.三角形中位线三角形中位线BADCE 解解:DE为为ABC的中位线，的中位线，DEBC，DE=BC.位置关系位置关系 数量关系数量关系 12请结合图形说明三角形中位线的性质请结合图形说明三角形中位线的性质.w定理定理:三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边且等于第三边的一半的一半.ABCDEFSS41)2(2.2.中点三角形的定义：连结三角形三边中点的线中点三角形的定义：连结三角形三边中点的线段组成的三角形叫中点三角形。段组成的三角形叫中点三角形。3已知：点已知：点D、E、F分别是分别是ABC边边BC、AC、AB的中点，则的中点，则 DFEABCDEF)1(ABC 顺次连接一个四边形四边中点所得四边顺次连接一个四边形四边中点所得四边形称为形称为这个四边形的中点四边形。这个四边形的中点四边形。中点四边形的定义中点四边形的定义：二、探究二、探究ABCDHEFG 1.1.画一个画一个任意四边形任意四边形，并画出四边的中点，再顺次，并画出四边的中点，再顺次连接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？连接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？ABCDHEFG 如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、CD、AD、BC的中点，四边形的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？是平行四边形吗？为什么？试一试试一试:【分析【分析】对于一般的四边形，可以通过连对对于一般的四边形，可以通过连对角线将四边形角线将四边形转化转化为三角形来解决由已知的为三角形来解决由已知的四个中点，利用四个中点，利用三角形中位线定理三角形中位线定理和和平行四边平行四边形的判定形的判定可证明出可证明出 ABCDHEFG 如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，E、F、G、H分分别是别是AB、CD、AD、BC的中点，四边形的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？是平行四边形吗？为什么？试一试试一试:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解：四边形解：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形.理由如下：理由如下：连接连接BD.BD.EE、H H分别是分别是ABAB、ADAD的中点的中点 ，即即EHEH是是ABDABD的中位线的中位线.EHBDEHBD，EH=BD.EH=BD.同理同理:FGBD,FG=BD.:FGBD,FG=BD.EHFGEHFG，EH=FG.EH=FG.四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形.()12122121方法二方法二:证明：连结证明：连结BDBD、ACACEE、H H是是ABAB、ADAD的中点，的中点，EHEH是是ABDABD的中位线的中位线EH=EH=BDBDFG=EHFG=EH同理可证：同理可证：HG=EFHG=EF四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形同理可证：同理可证：FG=BDHGFEABCD两组对边相等的四边形是平行四边形两组对边相等的四边形是平行四边形HGFEABCD方法三方法三:证明：连结证明：连结BDBD、ACACEE、H H是是ABAB、ADAD的中点，的中点，EHEH是是ABDABD的中位线的中位线 EHEHBDBD，同理同理FGFGEHEH同理可证：同理可证：HGHGEFEF四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形两组对边平行的四边形是平行四边形两组对边平行的四边形是平行四边形2.2.猜想：猜想：S S中点四边形中点四边形 S S原四边形原四边形HGFEABCD1.1.AEHAEH的面积是的面积是ABDABD面积的几分之几？面积的几分之几？CFGCFG的的面积是面积是CBDCBD面积的几分之几？面积的几分之几？2.2.AEHAEH的面积与的面积与CFGCFG的面积之和是四边形的面积之和是四边形ABCDABCD面面积的几分之几？积的几分之几？同理同理3.3.BEFBEF的面积与的面积与DHGDHG的面积之和是四边形的面积之和是四边形ABCDABCD面面积的几分之几？积的几分之几？2.2.猜想：猜想：S S中点四边形中点四边形 S S原四边形原四边形HGFEABCD四边形四边形ABCDAEHABD41ABDAEHSSABDSAEHS41BACBEFSS41CBDCFGSS41DAGDHGSS412121EHBD同理同理ABDEHBDABDABDABDEHBDABDAEHSBEFSCFGSDHGS-AEHS-DHGS-S中点四边形中点四边形EFGH=S S四边形四边形ABCD?SSSSSBCDBACDACABD21)41(=S S四边形四边形ABCD41ABDAEHSS41ABDAEHSSABDSAEHS4141ABDAEHSS同理同理DAGDHGSS41同理同理DAGDHGSS41CBDCFGSS41同理同理DAGDHGSS41BACBEFSS41CBDCFGSS41同理同理DAGDHGSS41证明：连结证明：连结BD、ACE、H是是AB、AD的中点，的中点，EH是是ABD的中位线的中位线EHBD，EH=BDBDS S中点四边形中点四边形 S S原四边形原四边形1 1、如果把上题中的、如果把上题中的“任意四边形任意四边形”改为改为“平行四边平行四边形形”，它的中点四边形是什么形状呢？，它的中点四边形是什么形状呢？2 2、把、把“任意四边形任意四边形”改为改为“矩形矩形”，它的中点四边形仍，它的中点四边形仍是平行四边形吗？有没有更是平行四边形吗？有没有更 特殊？特殊？3 3、再把它改为、再把它改为“菱形菱形”、“正方形正方形”呢？呢？4 4、改成、改成“一般梯形、直角梯形、等腰梯形一般梯形、直角梯形、等腰梯形”呢？呢？结合手中准备的图片，小组探究以下几个问题答案：结合手中准备的图片，小组探究以下几个问题答案：观察下列演示观察下列演示想一想想一想:(1)矩形矩形(3)正方形正方形(4)梯形梯形(2)菱形菱形(5)直角梯形直角梯形(6)等腰梯形等腰梯形菱形菱形矩形矩形正方形正方形菱形菱形平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形根据刚才的讨论观察：回答下列四边形根据刚才的讨论观察：回答下列四边形的中点四边形的形状？的中点四边形的形状？ABCDEFGHOMNABCDEFGHEFHEFGHEFGHEFABDABCDABGHEFCDABGHEFCDAB想一想想一想:(1)矩形矩形(6)等腰梯形等腰梯形菱形菱形菱形菱形对角线相等对角线相等GHEFACBDAC=BD菱形菱形下列矩形和等腰梯形下列矩形和等腰梯形的对角线有何特征？中间这个的对角线有何特征？中间这个任意四边形添加什么条件，它的中点四边形才是菱任意四边形添加什么条件，它的中点四边形才是菱形？你能得出什么结论？形？你能得出什么结论？想一想想一想:(2)菱形菱形矩形矩形ABCDEFGHOMN对角线互相垂直对角线互相垂直矩形矩形ACACBDBDMCGFEACOBD下列左图菱形下列左图菱形的对角线有何特征？右图任意四边形的对角线有何特征？右图任意四边形添加什么条件，它的中点四边形才是是矩形？你能添加什么条件，它的中点四边形才是是矩形？你能得出什么结论？得出什么结论？想一想想一想:(4)梯形梯形(5)直角梯形直角梯形平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形对角线既不相等也不垂直对角线既不相等也不垂直HGFEABCD平行四边形平行四边形ACBD,ACACBD,AC与与BDBD不垂直不垂直下列梯形和直角梯形下列梯形和直角梯形的对角线有何特征？中间任意四的对角线有何特征？中间任意四边形添加什么条件，它的中点四边形才是平行四边形边形添加什么条件，它的中点四边形才是平行四边形形？你能得出什么结论？形？你能得出什么结论？(3)正方形正方形正方形正方形正方形正方形想一想想一想:下列右图正方形下列右图正方形的对角线有何特征？左图任意四边的对角线有何特征？左图任意四边形添加什么条件，它的中点四边形才是是正方形？形添加什么条件，它的中点四边形才是是正方形？你能得出什么结论？你能得出什么结论？AC=BD,ACAC=BD,ACBDBD对角线相等且垂直对角线相等且垂直（1 1）中点四边形的形状与原四边形的）中点四边形的形状与原四边形的对角线位置关对角线位置关系和数量关系系和数量关系有密切关系；有密切关系；（2 2）只要原四边形的两条对角线）只要原四边形的两条对角线_，就能使，就能使中点四边形是菱形；中点四边形是菱形；（3 3）只要原四边形的两条对角线）只要原四边形的两条对角线 ，就能，就能使中点四边形是矩形；使中点四边形是矩形；（4 4）只要原四边形的两条对角线）只要原四边形的两条对角线 ，就能使中点四边形是正方形；就能使中点四边形是正方形；（5 5）中点四边形与原四边形的面积之比是）中点四边形与原四边形的面积之比是 。相等相等互相垂直互相垂直相等且互相垂直相等且互相垂直结论：结论：根据刚才的探究结论填空根据刚才的探究结论填空1:2三、课堂练习（小组合作探究）三、课堂练习（小组合作探究）:1.任意四边形的中点四边形都是_；平行四边形的中点四边形是_；矩形的中点四边形是_；菱形的中点四边形是_；正方形的中点四边形是_；梯形的中点四边形是_；直角梯形的中点四边形是_；等腰梯形的中点四边形是_。平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形菱形菱形正方形正方形（1 1）中点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？）中点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？（2 2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？（3 3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？答：中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系答：中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系.答：不一定。只要原四边形的两条对角线相等，就能答：不一定。只要原四边形的两条对角线相等，就能使中点四边形是菱形；使中点四边形是菱形；答：不一定。要使中点四边形是正方形，原四边形要答：不一定。要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是对角线垂直。符合的条件是对角线垂直。（4 4）要使中点四边形是）要使中点四边形是正方形正方形，原四边形一定是，原四边形一定是正方形正方形吗？吗？答答:不一定不一定.只要原四边形的两条对角线相等且垂直只要原四边形的两条对角线相等且垂直,就能使中点四边形是正方形就能使中点四边形是正方形.2.2.分小组讨论回答下列问题分小组讨论回答下列问题原四边形的对角线原四边形的对角线中点四边形中点四边形平行四边形平行四边形菱形菱形矩形矩形正方形正方形3.完成下列表格完成下列表格既不相等又不垂直既不相等又不垂直相等相等垂直垂直相等且垂直我学会了我学会了 我感受到了我感受到了 我知道了我知道了 四、检测题：四、检测题：1.1.四边形四边中点依次连接能得到的图形是矩形，则四边形四边中点依次连接能得到的图形是矩形，则原四边形是（原四边形是（）A.A.矩形矩形 B.B.菱形菱形 C.C.正方形正方形 D.D.对角线垂直的四边形对角线垂直的四边形2.2.在四边形在四边形ABCDABCD中，点中，点E E、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点，如果四边形的中点，如果四边形EFGHEFGH为菱形为菱形,那么四边形那么四边形ABCDABCD可可能是能是 .（只要写出一种即可）（只要写出一种即可）D D矩形、等腰梯形等3.(3.(兰州兰州)如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为已知第一个矩形的面积为1 1，则第，则第n n个矩形的面积为个矩形的面积为 .4.4.如图，四边形如图，四边形 ABCDABCD中，中，ACACBD,BD,顺次连接四边形顺次连接四边形ABCDABCD各边中各边中点，得到四边形点，得到四边形 ;再顺次连接四边形再顺次连接四边形 各边中各边中点，得到四边形点，得到四边形 如此进行下去得到四边如此进行下去得到四边形形 .则（则（1 1）四边形）四边形 的形状是（的形状是（）;（2 2）四边形）四边形 的形状是（的形状是（）.矩形矩形菱形菱形1111ABC D2222A B C D1111ABC D2222A B C D1111ABC DnnnnA B C DABCD1A1B1C1D2A2B2C2D（3 3）四边形四边形 的形状的形状?nnnnA B C D n n是奇数时，四边形是奇数时，四边形 的形状是矩形；的形状是矩形；n n是偶数时，四是偶数时，四边形边形 的形状是菱形；的形状是菱形；nnnnA B C DnnnnA B C D（4）四边形四边形ABCDABCD的面积是的面积是a,a,则四边则四边形形 的面积是的面积是().().nnnnA B C Dan215.点点O O是是ABCABC所在平面内一动所在平面内一动点，连结点，连结OBOB、OCOC，并把，并把ABAB、OB OB、OCOC、CACA的中点的中点D D、E E、F F、G G顺次连结起来，设顺次连结起来，设DEFGDEFG能够能够成四边形。成四边形。（1 1）如图，当点）如图，当点O O在在ABCABC内内时，求证：四边形时，求证：四边形DEFGDEFG是平行是平行四边形；（四边形；（2 2）当点）当点O O移到移到ABCABC外时，上小题的结论是外时，上小题的结论是否仍成立？否仍成立？（3 3）若四边形）若四边形DEFGDEFG为矩形，为矩形，则点则点O O所在位置应满足什么条所在位置应满足什么条件，试说明理由。件，试说明理由。FEGDABCO感谢各位老师光临指导！感谢各位老师光临指导！