高一数学知识点全解

高一数学知识点全解必修一第一章 ，集合与函数概念 一，集合1. 集合的有关概念：1) 集合的含义：一般的指定的某些对象的全体称为集合（也称为集），集合中的每个对象是集合的一个元素。2) 集合元素的三个特性： 元素的确定性 ，如：世界上最高的山 元素的互异性， 如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y, 元素的无序性， 如：A,B,C和A,C,B表示同一个集合3） 集合的表示方法： 列举法，将集合中的元素一一列举出来。如:我们班的全体学生，太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋 c d 描述法，将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内。如：x,(x,y)|2x+3y=0,xa b Venn图， 例题：（集合的意义与表示方法） 1.一直集合A= 若1，求实数的值 2.试用列举法和描述法分别表示下列集合 方程所有实根组成的集合 由大于10小于20的整数组成的集合*思考：能否用例举法表示不等式作业：基础篇1，基础篇下列集合中，表示方程组的解集的是（ ）（A） （B） （C） （D） 2，若集合只有一个元素，则实数的值 加强篇1，集合A的元素由的解组成，其中若A中的元素之多有一个，求的 值2，若，求实数的值。二，集合间的基本关系1，“包含”关系-子集 注意：A 2“相等”关系：A=B（55，且55） 实例：设 “两个集合表示的元素相通则集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集 真子集：如果A那就是说集合A是集合B的真子集，记作B（或者B A ） 如果A，那么 如果 3，不含任何元素的集合叫空集，记作 * 有N个元素的集合，含有例题（集合间的基本关系）1，设，若，则实数的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）2，若集合、，满足，则与之间的关系为（ ）（A） （B）（C） （D）作业：基础篇U1、图中阴影部分表示的集合是 ( )BA A. B. C. D. 2、已知集合A=2，B=xa，且，则实数a的取值范围是（ ）（A）a（B）a （C）a （D）a3、设全集，若，则 （ ）（A） （B）（C） （D）4、设P=，则P、Q的关系是 （ ）（A）PÍQ（B）PÊQ （C）P=Q （D）PÇQ=加强篇 1，已知集合，且，求实数的取值范围。 2，已知集合，若，求实数的取值范围。二，函数一、函数的概念与表示 1、映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同例题1、下列各对函数中，相同的是 （ ）A、 B、 C、 D、f（x）=x，2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 （ ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个xxxx1211122211112222yyyy3OOOO二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 6.（05江苏卷）函数的定义域为2求函数定义域的两个难点问题（1） （2） 例2设，则的定义域为_变式练习：，求的定义域。三、函数的值域1求函数值域的方法直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且R的分式；分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1（直接法）2 3（换元法）4. （法） 5. 6. (分离常数法) 7. (单调性)8.， (结合分子/分母有理化的数学方法)9(图象法)10(对号函数) 11. (几何意义)四函数的奇偶性1定义:设y=f(x)，xA，如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为奇函数。2.性质：y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D1 ，D2，D1D2要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系1 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时， .2 已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；3 已知在（1，1）上有定义，且满足证明：在（1，1）上为奇函数；4 若奇函数满足，则_五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2 设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。1判断函数的单调性。2例 函数对任意的，都有，并且当时， 求证：在上是增函数； 若，解不等式 3函数的单调增区间是_4(高考真题)已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）（A） （B） （C）（D）六函数的周期性：1（定义）若是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是的周期（推广）若，则是周期函数，是它的一个周期对照记忆说明：说明：2若；则周期是21 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)22 定义在R上的偶函数，满足，在区间-2,0上单调递减，设，则的大小顺序为_3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且则f (2005)= .4 已知是(-)上的奇函数，当01时，f(x)=x，则f(7.5)=_例11 设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时求证：是周期函数；当时，求的解析式；计算：七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1f(x)=x;（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f-1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;1设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过（A） （B） （C） （D）第二章，基本初等函数一二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的的取值。一元二次不等式的解集(a>0)二次函数情况一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a>0)=b2-4acax2+bx+c>0 (a>0)ax2+bx+c<0 (a>0)图象与解>0=0<0R1、已知函数在区间上是增函数，则的范围是（ ）（A） (B) (C) (D) 2、方程有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_二指数式与对数式1幂的有关概念(1)零指数幂(2)负整数指数幂(3)正分数指数幂；(5)负分数指数幂(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2有理数指数幂的性质 3根式根式的性质:当是奇数，则；当是偶数，则4对数(1)对数的概念:如果,那么b叫做以a为底N的对数,记(2)对数的性质：零与负数没有对数 (3)对数的运算性质 logMN=logM+logN 对数换底公式：对数的降幂公式： (1) (2) 三指数函数与对数函数1、 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=ax (a>0且a1)y=logax (a>0 , a1)定义域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )过定点（，1）（1，）图象指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a1)图象关于y=x对称单调性a> 1,在(-,+ )上为增函数a<1, 在(-,+ )上为减函数a>1,在(0,+ )上为增函数a<1, 在(0,+ )上为减函数值分布y>1 ? y<1?y>0? y<0?2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同2、 ，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。1、（1）的定义域为_；（2）的值域为_；（3）的递增区间为，值域为2、（1），则3、要使函数在上恒成立。求的取值范围。4.若a2x+·ax0（a0且a1），求y=2a2x3·ax+4的值域.四函数的图象变换（1） 1、平移变换：（左+ 右- ，上+ 下- ）即 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）1f(x)的图象过点(0,1)，则f(4-x)的反函数的图象过点（ ）A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4)2作出下列函数的简图：（1）y=|log|； （2）y=|2x-1|；（3）y=2|x|； 五函数的其他性质 1函数的单调性通常也可以以下列形式表达： 单调递增 单调递减2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明： 奇函数 偶函数3函数的凸凹性： 凹函数（图象“下凹”，如：指数函数） 凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）