4.2平面向量线性运算的坐标表示 (2)

2.3.3平面向量的坐标运算 前面我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。本节课就是学习平面向量的坐标运算，其中包括向量的加，减，数乘运算。1能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.1平面向量基本定理的内容？什么叫基底？平面向量基本定理的内容？什么叫基底？1 1e e 2 2e ea11 121 122aee 如果如果 ,是同一平面内的两个不共线的是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，存，存在唯一一对实数在唯一一对实数 、，使，使2什么是平面向量的夹角？什么是平面向量的夹角？两个非零向量两个非零向量a 和和b，作，作 ，则，则 叫做向量叫做向量a 和和b 的夹角的夹角aOA bOB AOB)1800(3什么是平面向量的正交分解？什么是平面向量的正交分解？123415234xy5012341234o问题：问题：若若已知已知 =（1，3），=（5，1），），ab如何求如何求 +，的坐标呢？的坐标呢？abababC（6，4）=（x1x2，y1y2）ba（x1，y1）（x2，y2）ba=（x1 +y1 ）ij+（x2 +y2 ）ij=（x1+x2）+(y1+y2)ij猜想：猜想：=（x1x2，y1y2）ba证明：证明：=（x1 ,）+(,y2)=（x1 +y1 ）ij+（x2 +y2 ）ij重点重点1y2x平面向量的坐标运算法则平面向量的坐标运算法则1212,abxxyy1122,ax ybxy已知1212,abxxyy结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和（差）。相应坐标的和（差）。a 向量的数乘运算？a11()x iy j11x iy j11(,)axy即 11,(,),R ax y若则结论：实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向结论：实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标量的相应坐标.平面向量的坐标运算法则),(),(),(),(),(11212121212211yxayyxxbayyxxbayxbyxa则：重点(2,1),(3,4),34已知求1.的坐标。abab abab例（-1，5）平面向量坐标运算法则应用平面向量坐标运算法则应用（5，-3）（-6，19）探究探究 ：若若已知已知 点点A、B的坐标分别为的坐标分别为（1，3），（4，2），如何求），如何求 的坐标呢？的坐标呢？AB123415234xy5012341234o(3,1）的坐标可能为的坐标可能为（x2x1,y2y1)ABB（4，2）A（1，3）（x1，y1）（x2，y2）（x1，y1）（x2，y2）AB OA OB (x2 x1,y2 y1)(x2,y2)(x1,y1)结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标向线段的终点的坐标减去始点的坐标。例2:已知A、B两点的坐标，求 ,的坐标。A(3,5),B(6,9);A(3,4),B(6,3)A(0,3),B(0,5);A(3,0),B(8,0)ABBA AB终点终点B B始始点点A A终点坐标减终点坐标减去去始点坐标始点坐标 (2,7)终点坐标减终点坐标减去向量坐标去向量坐标始始点坐标加点坐标加上向量坐标上向量坐标(3 ,4 )（1 1，3 3 ）（1 1，2 2 ）（2 2，3 3 ）（1 1，1 1 ）例3.如图，已知 四边形 的四个顶点A、B、C，D的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），(2,2)求证四边形 ABCD是平行四边形.12345xy5012341122345C CA AB BD D6612345xy5012341122345C CA AB BD D66思考1:已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2，1)、(1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。ABCDxyO解：解：设点设点D的坐标为（的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCx yxyABDC 且且(1,2)(3,4)xy13,24.xy 解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）.思考1:已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2，1)、(1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。ABCDxyO另解：另解：由平行四边形法则可得由平行四边形法则可得(2(1),1 3)(3(1),4 3)(3,1)BDBABC 而而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD 所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）.思考1:已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2，1)、(1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标。思考2：若已知平面上三个点A、B、C 的坐标分别为(2，1）,（1，3）,（3，4）,求第四个点的坐标,使这四个点构成一个平行四边形的四个顶点.12345xy5012341122345C CA AB BD D66D D1 1D D2 2D D1=4,6,=2b,b、且那么 的aa坐标是坐标是()()A A、(3,2)B(3,2)B、(2,3)C(2,3)C、(-3,-2)D(-3,-2)D、(-2,-3)(-2,-3)B B2=x-2,3b=1,y+2、若向量与向量相等，那么（）aA A、x=1,y=3 Bx=1,y=3 B、x=3,y=1x=3,y=1C C、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、x=5,y=-1x=5,y=-1B B3AB=x,y,B -2,1,OA、已知的坐是那么的 标坐标为()A A、(x-2,y+1)B(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)(x+2,y-1)C C、(-2-x,1-y)D(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)(x+2,y+1)C C4=1,1,b=1,-1,c=-1,2,c13133131 A-+b B-b C-b D-+b22222222、若向量那么 等于（）、aaaaaB B5=3,-1,b=-1,2,-3-2b A7,1 B-7-1 C-7,1 D7-1、已知那么等于（）、，、，aaB B6B m,n,AB、已知 的坐是 标的坐标为的坐标为(i,j),(i,j),则点则点A A的坐标为的坐标为()()A A、(m-i,n-j)B(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)(i-m,j-n)C C、(m+i,n+j)D(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)(m+n,i+j)A A请回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些知识吗？1.平面向量坐标的加.减运算法则 =(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则3.平面向量坐标若A(x1,y1),B(x2,y2)则 =(x2 -x1,y2 y1)ABa b a b(,)(,)ax yxy 1141 4P A课本组