内积与标准正交基.ppt

定义12,一、内积的定义及性质,说明,1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义,内积的运算性质,定义2,令,向量的长度具有下述性质：,二、向量的长度及性质,解, 正交的概念, 正交向量组的概念,正交,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组,三、正交向量组的概念及求法,证明, 正交向量组的性质,例1 已知三维向量空间中两个向量,正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基., 向量空间的正交基,即,解之得,由上可知 构成三维空间的一个正交基.,解, 规范正交基,例如,同理可知,证明,定义4,定理,四、正交矩阵与正交变换,为正交矩阵的充要条件是 的列向量都 是单位向量且两两正交,性质 正交变换保持向量的长度不变,证明,例 判别下列矩阵是否为正交阵,定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正 交变换,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,所以它是正交矩阵,由于,例,解,（1）正交化，取 ，, 求规范正交基的方法,（2）单位化，取,解 先正交化，,取,施密特正交化过程,再单位化，,得规范正交向量组如下,例,解,再把它们单位化，取,几何解释,例,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,1将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将 其单位化,五、小结,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,求一单位向量，使它与,正交,思考题,思考题解答,