排列组合和排列组合计算公式.doc

排列组合公式/排列组合计算公式排列 P-和顺序有关组合 C -不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如 把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法 "组合"1排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,.nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*.*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）.（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘 ，如9！9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2).(n-r+1);     因为从n到（n-r+1)个数为n（n-r+1)r举例：Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1:  123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。  上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合， 我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式P（3，9)9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2:  213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。  上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1 设有3名学生和4个课外小组（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法 （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法 点评   由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算   例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： 符合题意的不同排法共有9种 点评   按照分“类”的思路，本题应用了加法原理为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型 例判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果 （1）高三年级学生会有11人：每两人互通一封信，共通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析（1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题其他类似分析 （1）是排列问题，共用了 封信；是组合问题，共需握手 （次） （2）是排列问题，共有 （种）不同的选法；是组合问题，共有 种不同的选法 （3）是排列问题，共有 种不同的商；是组合问题，共有 种不同的积 （4）是排列问题，共有 种不同的选法；是组合问题，共有 种不同的选法 例证明 证明 左式 右式 等式成立 点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化 例5化简 解法一原式 解法二原式 点评   解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化 例6解方程：（1） ；（2） 解 （1）原方程 解得 （2）原方程可变为 ， ， 原方程可化为 即 ，解得 第六章  排列组合、二项式定理 一、考纲要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构        三、知识点、能力点提示 (一)加法原理乘法原理说明  加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.例1  5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：  5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明  排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2  由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的 偶数共有(    )A.60个        B.48个        C.36个        D.24个解  因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P1236(个)由此可知此题应选C.例3  将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：  将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明  历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4  从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有(    )A.140种      B.84种      C.70种       D.35种解：  抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5  甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：  甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8×C15×C24×C22= ×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明  二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6  在(x- )10的展开式中，x6的系数是(    ) A.-27C610        B.27C410        C.-9C610        D.9C410解  设(x- )10的展开式中第+1项含x6，因T+1=C10x10-(- )，10-=6,=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(- )4=9C410故此题应选D.例7    (x-1)-(x-1)2(x-1)3-(x-1)+(x-1)的展开式中的x的系数等于                解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8  若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为(    )A.1                        B.-1             C.0           D.2解：A. 例9  2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有(    )A.6种            B.12种          C.18种            D.24种解  分医生的方法有P222种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×212种不同的分配方法。应选B.例10  从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其 中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有(    ).A.140种          B.84种          C.70种           D.35种解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.C24·+C25·C14=5×6+10×4=70.应选C.例11  某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名代表，至少有1名女生当选的不同选法有(    )A.27种      B.48种      C.21种       D.24种解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：C13·C1 7+C23=3×7+3=24，应选D.例12  由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的 六位数，其中个位数字小于十位数字的共有(    ).A.210个                  B.300个C.464个                  D.600个解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P15·P 55=600个.由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.有 ×600=300个符合题设的六位数.应选B.例13  以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有(    ).A.70个                   B.64个C.58个                   D.52个解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C48=70个.其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如(ADB1C1 )的有4组.能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)应选C.例14  如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱 锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有(    ).A.12对                      B.24对C.36对                      D.48对解：设正六棱锥为OABCDEF.任取一侧棱OA(C16)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.共有C16×4=24对异面直线.应选B.例15  正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点 为顶点的三角形共         个(以数字作答).解：7点中任取3个则有C37=35组.其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).三角形个数为35-3=32个.例16  设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则 的值为                。解  10个元素的集合的全部子集数有：SC010+C110+C210+C310+C410+C510+C610+C710+C810+C910+C1010=2 10=1024其中，含3个元素的子集数有T=C310=120故 = 例17        例17        在50件产品 n 中有4件是次品，从中任意抽了5件 ，至少有3件是次品的抽法共            种(用数字作答).解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.C34·C246+C44·C146=4186(种)例18  有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、 丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有(    ).A.1260种                     B.2025种C.2520种                     D.5040种解：先从10人中选2个承担任务甲(C210)再从剩余8人中选1人承担任务乙(C1 8)又从剩余7人中选1人承担任务乙(C1 7)有C210·C1 8C1 7=2520(种).应选C.例19  集合1，2，3子集总共有(    ).A.7个      B.8个      C.6个       D.5个解  三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的子集数C13，由二个元素组成的子集数C23。由3个元素组成的子集数C33。由加法原理可得集合子集的总个数是C13+C23+C33+1=3+3+1+18故此题应选B.例20  假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有两件次品的抽法有(    ).A.C23C3197种        B.C23C3197 +C33C2197C.C5200-C5197                D.C5200-C 13C4197解：5件中恰有二件为次品的抽法为C23C3197，5件中恰三件为次品的抽法为C33C2197，至少有两件次品的抽法为C23C3197+C33C2197.应选B.例21  两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座(每人一个座位)，则不同座法的总数是(    ).A.C58C38         B.P12C58C38C.P58P38