《导数的应用习题》PPT课件.ppt

导数的应用习题课,一、知识点,1导数应用的知识网络结构图：,2基本思想与基本方法：,数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调 性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探 讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极 值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践 的辩证关系，具有较大的实践意义。,求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤： i）求f(x)； ii）解不等式f(x)0（或f(x)0）； iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。,证明有导数函数y=f(x)在区间(a，b)内的单调性： i）求f(x)； ii）解不等式f(x)0（或f(x)0）； iii）确认f(x)在(a，b)内的符号； iv）作出判断。,求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤： i）求导数f(x)； ii）求方程f(x)=0的全部实根； iii）检查f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧的值 的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个 根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x） 在这个根处取得极小值。,设y=f（x）在a，b上有定义，在(a，b)内有导数，求f（x）在a，b上的最大值和最小值的步骤： i）求f（x）在（a，b）内的极值； ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确 定f（x）的最大值与最小值。,在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值 点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定 最值，不必再与端点的函数值作比较。,二、例题选讲,例1:讨论函数 的单调性.,解:函数的定义域为,当x1时,故当x1时,当0<x<1时,故当0<x<1/2时, ;当1/2<x<1时,因此,函数在(-,0)和(1/2,1)上是增函数,而在(0,1/2) 和(1,+)上是减函数.,例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2), 且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值； (2)若f(x)在区间m,m+1上单调递增,求m的取值 范围.,解:(1),由题意得:,(2) ,解得x0或x<-2.,故f(x)的单调递增为(-,-2和0,+).,即m+1-2或m0,故m-3或m0.,练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小 值为2. (1)试确定常数a、b的值; (2)求函数的单调递增区间.,答案:(1)a=1,b=4. (2)单调递增区间为(-,-1)和(1,+).,例3:试问:曲线y=x6/3上哪一点的法线在y轴上截距最小 ?(所谓法线是指:过曲线上一点与以此点为切点的 切线垂直的直线).,解:在已知曲线上任取一点(x, x6/3),则过该点的切线的 斜率为 ,从而法线的斜率为,故法线方程为,令X=0,得法线在y轴上的截距:,则,令 ,得,当x1时, ,则Y单调增加.,故当 时,Y有最小值5/6,此时点 为所求.,练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都 取得极值. (1)求a、b的值; (2)若x-1,2时,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取 值范围.,答案:(1)a=-1/2,b=-2. (2)利用f(x)max2.,练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-,0及2,+)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在-1,4上 的值域.,答:由已知得 可求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在-1,4上的值域是-4,16.,解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2).,从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).,令 ,得,所以当 时,因此当点B为 时,矩形的最大面积是,例5:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.,设 ,由x,y为正实数得:,设,令 ,得 又,又f(0)=f()=0,故当 时,例6:证明不等式:,证:设,则,令 ,结合x0得x=1.,而01时, ,所以x=1是f(x)的极小值点.,所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.,从而当x0时,f(x)1恒成立,即: 成立.,三、小结,四、作业,1.要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法.,2.要认识导数应用的本质,强化应用意识.,3.认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化,数形结 合等数学思想方法,发展延拓,定能不断提高解题的 灵活性和变通性.,p.257258课后强化训练.,例2:已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1) (1)设g(x)=ff(x),求g(x)的解析式. (2)设 ,试问:是否存在实数 ,使 在(-,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数.,说明:此题为p.248第15题.,解:(1)由已知得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)= (x2+1)2+c;,由ff(x)=f(x2+1)得:(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,即 (x2+c)2=(x2+1)2,故c=1.所以f(x)=x2+1.,从而g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.,(2),若满足条件的 存在,则,由函数 在(-,-1)内为减函数知,当x<-1时, 即 对于 恒成立.,又函数 在(-1,0)内为增函数知,当-1<x<0时, 即 对于 恒成立.,故当 时, 在(-,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数,即满足条件的 存在.,另解:由已知的单调性知:(-,-1)内 ,(-1,0)内 又 在点x=-1处连续,故点x=-1是极小值点.,解:设细杆与另一走廊一边夹角为 又设另一走 廊的宽为y.,令,由于y()只有一个极小值,所以它是最小值,这时,故另一走廊的宽度至少是,