数列知识点及常用结论

数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式通项公式： （从第1项开始为等差） （从第m项开始为等差） 前项和公式：（2）证明等差数列的法方定义法：对任意的n，都有（d为常数）为等差数列等差中项法：（n）为等差数列通项公式法：=pn+q (p，q为常数且p0) 为等差数列 即：通项公式位n的一次函数，公差，首项前项和公式法： (p， q为常数) 为等差数列 即：关于n的不含常数项的二次函数（3）常用结论若数列，为等差数列，则数列，(k， b为非零常数)均为等差数列.若m+n=p+q (m，n，p，q)，则=.特别的，当n+m=2k时，得=在等差数列中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：，仍为公差为3d的等差数列)若数列为等差数列，则记，则，仍成等差数列，且公差为d若为等差数列的前n项和，则数列也为等差数列. 此性质对任何一种数列都适用求最值的方法：I: 若>0，公差d<0，则当时，则有最大值,且最大； 若<0，公差d>0，则当时，则有最小值，且最小；II：求前项和的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数，当 时，为最值，是最大或最小，通过的开口来判断。二、等比数列（1）等比数列的基本公式通项公式： （从第1项开始为等比） （从第m项开始为等差）前项和公式：，（2）证明等比数列的法方定义法：对任意的n，都有(q0) 为等比数列等比中项法：（0）为等比数列通项公式法：为等比数列（3）常用结论若数列，为等比数列，则数列， (k为非零常数) 均为等比数列.若m+n=p+q (m， n， p， q)，则=.特别的，当n+m=2k时，得=在等比数列中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为 (例如：，仍为公比的等比数列)若数列为等差数列，则记，则，仍成等比数列，且公差为三、求任意数列通项公式的方法（1）累加法：若满足an+1=an+f(n)利用累加法求：例题：若，且，求：练习题：若数列满足，且（2）累乘法：若满足利用累乘法求： 例题：在数列an中，求：.练习题：在数列an中，且，求： （提示：）（3）递推公式中既有，又有，用逐差法 特别注意：该公式对一切数列都成立。（4）若满足，则两边加：，在提公因式P，构造出一个等比数列，再出求：例题：已知数列，满足：，且，求：习题1：已知数列满足：且，求：习题2：已知数列满足：，且，求：（5）若满足，则两边同时除以：，构造出一个等差数列，再求出：例题：已知满足：，求： 解：，既有： 所以：是首项为：，公差的等差数列 所以：习题1：已知且，求：习题2：已知且，求：（六）待定系数法：若满足以下关系： 都可用待定系数法转变成一个等比数列来：温馨提示：提，对待定系数例题1：已知数列满足，求数列的通项公式. 解：，与原式对应得， 所以：是首项，公比的等比数列 既有：例题2：已知数列满足，求数列的通项公式. 解：，与原式对应得： 所以：是首项为：，公比的等比数列既有：（七）颠倒法：若满足：，用颠倒法； 所以：，所以：是以首项为：，公差的等差数列例题1：已知，且，求：例题2：已知，且，求：（八）倒数换元法：若数列满足：，则颠倒变成然后再用两边加：或者待定系数法既可求出，再颠倒就可得到：例题：若数列满足：，且，求：解：，两边加：1得： ，所以：是首项为：，公比：的等比数列；既有：若用待定系数法： 与原式子对应得，然后的方法同上；习题：已知且，求：四、求前n项和Sn的方法（1）错位相减求和 主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n项和；或者是等差与等比的商的前n项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。既：设为等差数列，为等比数列，求：或的前n项和常用此方法（都转变为乘积形式）例题1：已知数列，数列的前项和，求数列的前项和例题2：求数列的的前项和习题1：求：习题2：设数列，求的前n项和（2）裂项相消求和 适用于的形式，变形为：例题：求数列的前n项和习题1：求数列的前n项和 习题2：求数列的前n项和.（3）、分组法求和：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减；例题：求的前和？习题1：已知是一个递增的等差数列且，前n项和为数列的前n项和为，求数列的前n项和（3）、倒序求和：若 ，则的前前n项和用倒序求和【角标之和为，可以为一个常数，能用倒序求和的，一定是可求的】例题1：若数列，求的前前n项和习题2：若数列，求的前前n项和