圆锥曲线试题及答案

-椭圆一、选择题1(2021·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为*4，则该椭圆的方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：选C.由题意知椭圆的焦点在*轴上，故可设椭圆方程为1(a>b>0)由题意知b2a2c24，故所求椭圆方程为1.2(2021·高考卷)椭圆C1：1(a>b>0)与双曲线C2：*21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，假设C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213Cb2 Db22解析：选C.由题意知，a2b25，因此椭圆方程为(a25)*2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2*，联立方程消去y，得(5a25)*25a2a40，直线截椭圆的弦长d×2a，解得a2，b2.3椭圆1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与*轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值围是()A(0， B(0，C1,1) D，1)解析：选D.设P(*0，y0)，则|PF|ae*0.又点F在AP的垂直平分线上，ae*0c，因此*0.又a*0<a，a<a.1<1.又0<e<1，e<1.4椭圆1的长轴的左、右端点分别为A、B，在椭圆上有一个异于点A、B的动点P，假设直线PA的斜率kPA，则直线PB的斜率kPB为()A.B.C D解析：选D.设点P(*1，y1)(*1±2)，则kPA，kPB，kPA·kPB·，kPB×2，故应选D.5椭圆E：1(a>b>0)，以其左焦点F1(c,0)为圆心，以ac为半径作圆，过上顶点B2(0，b)作圆F1的两条切线，设切点分别为M，N.假设过两个切点M，N的直线恰好经过下顶点B1(0，b)，则椭圆E的离心率为()A.1 B.1C.2 D.3解析：选B.由题意得，圆F1: (*c)2y2(ac)2.设M(*1，y1)，N(*2，y2)，则切线B2M：(*1c)(*c)y1y(ac)2，切线B2N：(*2c)(*c)y2y(ac)2.又两条切线都过点B2(0，b)，所以c(*1c)y1b(ac)2，c(*2c)y2b(ac)2.所以直线c(*c)yb(ac)2就是过点M、N的直线又直线MN过点B1(0，b)，代入化简得c2b2(ac)2，所以e1.二、填空题6(2021·高考课标全国卷)在平面直角坐标系*Oy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在*轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，则C的方程为_解析：设椭圆方程为1，由e知，故.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，故a4.b28.椭圆C的方程为1.答案：17(2021·高考卷)假设椭圆1的焦点在*轴上，过点作圆*2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_解析：由题意可得切点A(1,0)切点B(m，n)满足，解得B.过切点A，B的直线方程为2*y20.令y0得*1，即c1；令*0得y2，即b2.a2b2c25，椭圆方程为1.答案：18(2021·高考卷)椭圆1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线*m与椭圆相交于点A、B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_解析：设椭圆的右焦点为F，如图，由椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当AB过右焦点F时等号成立此时4a12，则a3.故椭圆方程为1，所以c2，所以e.答案：三、解答题9设F1，F2分别为椭圆C：1(a>b>0)的左，右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果2，求椭圆C的方程解：(1)设椭圆C的焦距为2c，由可得F1到直线l的距离c2，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(*1，y1)，B(*2，y2)，由题意知y1<0，y2>0，直线l的方程为y(*2)联立 ，得(3a2b2)y24b2y3b40.解得y1，y2.因为2，所以y12y2.即2·，得a3.而a2b24，所以b.故椭圆C的方程为1.10(2021·高考卷)如图，椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在*轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由解：(1)因为C1，C2的离心率一样，故依题意可设C1：1，C2：1(a>b>0)设直线l：*t(|t|<a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A，B.当e时，ba，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|AD|.(2)当t0时的l不符合题意，当t0时，BOAN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即，解得t·a.因为|t|<a，又0<e<1，所以<1，解得<e<1.所以当0<e时，不存在直线l，使得BOAN；当<e<1时，存在直线l，使得BOAN.11(探究选做)椭圆C1：1(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y24*的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|.(1)求椭圆C1的方程；(2)菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线7*7y10上，求直线AC的方程解：(1)设M(*1，y1)，F2(1,0)，|MF2|.由抛物线定义，*11，*1，y4*1，y1.M(，)，M在C1上，1，又b2a21，9a437a240，a24或a2<c2舍去a24，b23.椭圆C1的方程为1.(2)直线BD的方程为7*7y10，四边形ABCD为菱形，ACBD，设直线AC的方程为y*m7*28m*4m2120，A、C在椭圆C1上，>0，m2<7，<m<.设A(*1，y1)，C(*2，y2)，则*1*2.y1y2(*1m)(*2m)(*1*2)2m2m.AC的中点坐标为(，)，由ABCD为菱形可知，点(，)在直线BD：7*7y10上，7·7·10，m1.m1(，)，直线AC的方程为y*1，即*y10.双曲线一、选择题1(2021·高考卷)设双曲线1(a>0)的渐近线方程为3*±2y0，则a的值为()A4B3C2 D1解析：选C.渐近线方程可化为y±*.双曲线的焦点在*轴上，2，解得a±2.由题意知a>0，a2.2(2021·高考*卷)双曲线1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y22p*(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A2 B2C4 D4解析：选B.双曲线左顶点为A1(a,0)，渐近线为y±*，抛物线y22p*(p>0)焦点为F，准线为直线*.由题意知2，p4，由题意知2a4，a2.双曲线渐近线y±*中与准线*交于(2，1)的渐近线为y*，1×(2)，b1.c2a2b25，c，2c2.3设双曲线的左准线与两条渐近线交于A、B两点，左焦点在以AB为直径的圆，则该双曲线的离心率的取值围为()A(0，) B(1，)C(，1) D(，)解析：选B.法一：由得A.同理可得B.又左焦点F(c,0)，.点F在以AB为直径的圆，·<0，即22<0，b4<a2b2，b2<a2，即c2a2<a2，c2<2a2，即e2<2，e<.又e>1，1<e<.法二：由得A.同理可得B.点F(c,0)在以AB为直径的圆，左焦点F到圆心的距离小于半径长，即c<，a>b.e <.又e>1，1<e<.4(2021·高考大纲全国卷)F1、F2为双曲线C：*2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A. B.C. D.解析：选C.由*2y22知，a22，b22，c2a2b24，a，c2.又|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|2c4，由余弦定理得cosF1PF2.5(2021·高考卷)双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：*2y26*50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A.双曲线1的渐近线方程为y±*，圆C的标准方程为(*3)2y24，圆心为C(3,0)又渐近线方程与圆C相切，即直线b*ay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.二、填空题6(2021·高考卷)双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，则点P到左准线的距离是_解析：由1可知a8，b6，则c10，设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，由|PF2|4及双曲线的第一定义得|PF1|16420.设点P到左准线的距离为d，由双曲线的第二定义有，即d16.答案：167(2021·高考卷)设P为直线y*与双曲线1(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于*轴，则双曲线的离心率e_.解析：直线y*与双曲线1相交，由消去y得*，又PF1垂直于*轴，c，即e.答案：8双曲线*21(b>0)的一条渐近线的方程为y2*，则b_.解析：双曲线的焦点在*轴上，2，4.a21，b24.又b>0，b2.答案：2三、解答题9由双曲线1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成PF1F2，求PF1F2的切圆与边F1F2的切点坐标N.解：由双曲线方程知a3，b2，c.当点P在双曲线的右支上时，如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF1|PF2|2a.由于|NF1|NF2|PF1|PF2|2a.|NF1|NF2|2c.由得|NF1|ac，|ON|NF1|OF1|acca3.故切点N的坐标为(3,0)根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为(3,0)10(2021·高考卷)如图，动点M与两定点A(1,0)、B(1,0)构成MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线y*m(m>0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|PR|，求的取值围解：(1)设M的坐标为(*，y)，当*1时，直线MA的斜率不存在；当*1时，直线MB的斜率不存在于是*1且*1.此时，MA的斜率为，MB的斜率为.由题意，有·4.化简可得，4*2y240.故动点M的轨迹C的方程为4*2y240(*1且*1)(2)由，消去y，可得3*22m*m240.(*)对于方程(*)，其判别式(2m)24×3(m24)16m248>0，而当1或1为方程(*)的根时，m的值为1或1.结合题设(m>0)可知，m>0且m1.设Q、R的坐标分别为(*Q，yQ)，(*R，yR)，则*Q，*R为方程(*)的两根因为|PQ|<|PR|，所以|*Q|<|*R|，*Q，*R.所以1.此时 >1，且 2，所以1<1<3，且1，所以1<<3，且.综上所述，的取值围是.11(探究选做)双曲线C：y21，P为C上的任意一点(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值解：(1)证明：设P(*1，y1)是双曲线C上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是*2y0和*2y0，点P(*1，y1)到两条渐近线的距离分别是和，·.故点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数(2)设点P的坐标为(*，y)(|*|2)，则|PA|2(*3)2y2(*3)21(*)2，|*|2，当*时，|PA|2取到最小值，即|PA|的最小值为.抛物线一、选择题1抛物线y22p*(p0)的准线与圆*2y26*70相切，则p的值为()A.B1C2 D4解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为*.由*2y26*70得(*3)2y216.准线与圆相切，34，p2.2(2021·高考卷)抛物线关于*轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)假设点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2C4 D2解析：选B.由题意设抛物线方程为y22p*(p>0)，则M到焦点的距离为*M23，p2，y24*.y4×2，y0±2，|OM|2.3(2021·模拟)设抛物线y28*的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点假设线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为()A5 B8C10 D12解析：选C.设A(*1，y1)，B(*2，y2)，|AB|AF|BF|*1*24，又E到y轴距离为3，3.|AB|10.4(2021·高考课标全国卷)直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24C36 D48解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y22p*(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为*.代入y22p*得y±p，即|AB|2p，又|AB|12，故p6，所以抛物线的准线方程为*3，故SABP×6×1236.5(2021·高考卷)在抛物线y*2a*5(a0)上取横坐标为*14，*22的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5*25y236相切，则抛物线顶点的坐标为()A(2，9) B(0，5)C(2，9) D(1，6)解析：选A.当*14时，y1114a；当*22时，y22a1，所以割线的斜率ka2.设直线与抛物线的切点横坐标为*0，由y2*a得切线斜率为2*0a，2*0aa2，*01.直线与抛物线的切点坐标为(1，a4)，切线方程为ya4(a2)(*1)，即(a2)*y60.圆5*25y236的圆心到切线的距离d .由题意得，即(a2)215.又a0，a4，此时，y*24*5(*2)29.顶点坐标为(2，9)二、填空题6(2021·高考卷)过抛物线y22*的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，假设|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.解析：由于y22*的焦点坐标为，设AB所在直线的方程为yk，A(*1，y1)，B(*2，y2)，*1*2，将yk代入y22*，得k222*，k2*2(k22)*0.*1*2.而*1*2p*1*21，*1*2.*1，*2.|AF|*1.答案：7抛物线C：y24*的焦点为F，C上的点M在C的准线上的射影为M，假设·|·|，则点M的横坐标为_解析：如下列图，·|cosMMF|，cosMMF.MMF60°.又|MM|MF|，故MMF为正三角形设M(*，y)，则M(1，y)，F(1,0)，|MF|MM|*1，整理得y2*22*3，将y24*代入y2*22*3得*22*30，即*3或1(舍)答案：38(2021·高考卷)设圆C位于抛物线y22*与直线*3所围成的封闭区域(包含边界)，则圆C的半径能取到的最大值为_解析：如下列图，假设圆C的半径取到最大值，必须为圆与抛物线及直线*3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a<3)，则圆的方程为(*a)2y2(3a)2，与抛物线方程y22*联立得*2(22a)*6a90，由判别式(22a)24(6a9)0，得a4，故此时半径为3(4)1.答案：1三、解答题9(2021·东北三校调研)点M(5,3)到抛物线ya*2的准线的距离为6，试求抛物线的方程解：当抛物线开口向上时，准线为y，点M到它的距离为36，a，抛物线的方程为y*2.当抛物线开口向下时，准线为y，M到它的距离为36，a.抛物线的方程为y*2.所以，抛物线的方程为y*2或y*2.10设抛物线y24a*(a0)的焦点为A，以B(a4,0)点为圆心，|BA|为半径，在*轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同两点M、N，点P是MN的中点求|AM|AN|的值解：设M、N、P在抛物线的准线上射影分别为M、N、P，则由抛物线定义得|AM|AN|MM|NN|*M*N2a.又圆的方程为*(a4)2y216，将y24a*代入得*22(4a)*a28a0，*M*N2(4a)，所以|AM|AN|8.11(探究选做)如图，设抛物线方程为*22py(p>0)，M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.(1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；(2)当M点的坐标为(2，2p)时，|AB|4.求此时抛物线的方程解：(1)证明：由题意设A(*1，)，B(*2，)，*1<*2，M(*0，2p)由*22py得y，则y，所以kMA，kMB.因此直线MA的方程为y2p(*0)直线MB的方程为y2p(*0)所以2p(*1*0)，2p(*2*0)，由得*1*2*0，因此*0，即2*0*1*2.所以A，M，B三点的横坐标成等差数列(2)由(1)知，当*02时，将其代入、并整理得*4*14p20，*4*24p20，所以*1、*2是方程*24*4p20的两根，因此*1*24，*1*24p2，又kAB，所以kAB.由弦长公式得|AB|· ·.又|AB|4 ，所以p1或p2.因此所求抛物线方程为*22y或*24y.直线与圆锥曲线一、选择题1(2021·模拟)F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点在AF1B中，假设有两边之和是10，则第三边的长度为()A6B5C4 D3解析：选A.根据椭圆定义，知AF1B的周长为4a16，故所求的第三边的长度为16106.2(2021·高考大纲全国卷)抛物线C：y24*的焦点为F，直线y2*4与C交于A，B两点，则cosAFB()A.B.C D解析：选D.法一：由得或令B(1，2)，A(4,4)，又F(1,0)，由两点间距离公式得|BF|2，|AF|5，|AB|3.cosAFB.法二：由法一得A(4,4)，B(1，2)，F(1,0)，(3,4)，(0，2)，|5，|2.cosAFB.3曲线C1的方程为*21(*0，y0)，圆C2的方程为(*3)2y21，斜率为k(k>0)的直线l与圆C2相切，切点为A，直线l与曲线C1相交于点B，|AB|，则直线AB的斜率为()A.B.C1 D.解析：选A.设B(a，b)，则由题意可得，解得.则直线AB的方程为yk(*1)，故1，k或k(舍去)4设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：选D.设双曲线方程为1(a>0，b>0)，如下列图，双曲线的一条渐近线方程为y*，而kBF，·()1，整理得b2ac.c2a2ac0，两边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，应选D.5双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B.kAB1，直线AB的方程为y*3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，c3，c29.设双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)，把y*3代入双曲线方程，则1.整理，得(b2a2)*26a2*9a2a2b20.设A(*1，y1)，B(*2，y2)，则*1*22×(12)，a24a24b2，5a24b2.又a2b29，a24，b25.双曲线E的方程为1.二、填空题6(2021·高考卷)假设椭圆1的焦点在*轴上，过点作圆*2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_解析：由题意可得切点A(1,0)切点B(m，n)满足，解得B.过切点A，B的直线方程为2*y20.令y0得*1，即c1；令*0得y2，即b2.a2b2c25，椭圆方程为1.答案：17(2021·*高三检测)设点F为抛物线y*2的焦点，与抛物线相切于点P(4，4)的直线l与*轴的交点为Q，则PQF的值是_解析：y*，kPQy|*42，直线PQ的方程为y42(*4)令y0，得*2，点Q(2,0)又焦点F(0，1)，kFQ，kPQ·kFQ1，PQF.答案：8F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2，则C的离心率为_解析：法一：如图，设椭圆C的焦点在*轴上，B(0，b)，F(c,0)，D(*D，yD)，则(c，b)，(*Dc，yD)，2，1，即e2，e.法二：设椭圆C的焦点在*轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)，D(*D，yD)，则|BF|a.作DD1y轴于点D1，则由2 ，得，|DD1|OF|c，即*D.由椭圆的第二定义得|FD|e()a.又由|BF|2|FD|，得a2a，整理得，即e2.e.答案：三、解答题9. 抛物线C的方程为y24*，其焦点为F，准线为l，过F作直线m交抛物线C于M，N两点求SOMN的最小值解：由题意知F(1,0)，l：*1，设m：*ay1，M(*1，y1)，N(*2，y2)则y24ay40，由根与系数的关系得.SOMN|OF|y1y2|·22(a0时取得等号)所以SOMN的最小值为2.10(2021·高考卷)如下列图，设椭圆的中心为原点O，长轴在*轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点，使PB2QB2，求PB2Q的面积解：(1)设所求椭圆的标准方程为1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)因为AB1B2是直角三角形且|AB1|AB2|，故B1AB2为直角，从而|OA|OB2|，得b.结合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故S·|B1B2|·|OA|OB2|·|OA|·bb2，由题设条件S4得b24，从而a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由题意知，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为*my2.代入椭圆方程得(m25)y24my160.(*)设P(*1，y1)、Q(*2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1·y2.又(*12，y1)，(*22，y2)，所以·(*12)(*22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，知·0，即16m2640，解得m±2.当m2时，方程(*)化为9y28y160，故y1，y2，|y1y2|，PB2Q的面积S|B1B2|·|y1y2|.当m2时，同理可得(或由对称性可得)PB2Q的面积S，综上所述，PB2Q的面积为.11(探究选做)(2021·高考卷)在平面直角坐标系*Oy中，双曲线C1：2*2y21.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及*轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点假设l与圆*2y21相切，求证：OPOQ；(3)设椭圆C2：4*2y21.假设M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值解：(1)双曲线C1：y21，左顶点A，渐近线方程：y±*.不妨取过点A与渐近线y*平行的直线方程为y，即y*1.解方程组得所以所求三角形的面积为S|OA|y|.(2)证明：设直线PQ的方程是y*b.因直线PQ与圆相切，故1，即b22.由得*22b*b210.设P(*1，y1)、Q(*2，y2)，则又y1y2(*1b)(*2b)，所以·*1*2y1y22*1*2b(*1*2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)证明：当直线ON垂直于*轴时，|ON|1，|OM|，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于*轴时，设直线ON的方程为yk*，则直线OM的方程为y*.由得所以|ON|2.同理|OM|2.设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，所以3，即d.综上，O到直线MN的距离是定值圆锥曲线综合一(时间：100分钟总分值：120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1抛物线y4*2的焦点坐标是()A(0，1) B(1，0)C(0，) D(，0)解析将抛物线方程变为*22×y，知p，又焦点在y轴上，且开口向上，所以它的焦点坐标为(0，)答案C2椭圆1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为()A2 B3 C5 D7解析点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a10，1037.选D.答案D3以抛物线y24*的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()A*2y22*0 B*2y2*0C*2y2*0 D*2y22*0解析因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点，所以圆的半径r1，故所求圆的方程为(*1)2y21，即*2y22*0，应选D.答案D4以椭圆1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是()A.1B.1C.1或1D以上都不对解析当顶点为(±4，0)时，a4，c8，b4，1；当顶点为(0，±3)时，a3，c6，b3，1.答案C5椭圆与双曲线1有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析双曲线1中a3，b2，则c1，故焦点坐标为(，0)，(，0)，故所求椭圆1(a>b>0)的c，又椭圆的离心率e，则a5，a225，b2a2c220，故椭圆的标准方程为1.答案B6(2021·期末)椭圆1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则ABF2的周长为()A10 B20 C2 D4解析|AB|BF2|AF2|AF1|BF1|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a4.答案D7双曲线1的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A2 B. C. D.解析双曲线1的两条渐近线方程为y±*，依题意·() 1，故1，所以1即e22，所以双曲线的离心率e.应选C.答案C8椭圆*2sin y2cos 1(0<2)的焦点在y轴上，则的取值围是()A(，) B(，)C(，) D(，)解析椭圆方程化为1.椭圆焦点在y轴上，>>0.又0<2，<<.答案D9抛物线y2*2上两点A(*1，y1)、B(*2，y2)关于直线y*m对称，且*1·*2，则m等于()A. B2 C. D3解析依题意，得kAB1，而y2y12(*)，得*2*1，且(，)在直线y*m上，即m，y2y1*2*12m，2(*)*2*12m，2(*2*1)22*2*1*2*12m，2m3，m.答案A10双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：*2y26*50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是b*±ay0，c3，根据得2，即2，解得b2，得a2c2b25，故所求的双曲线方程是1.答案A二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11点(2，3)与抛物线y22p*(p>0)的焦点的距离是5，则p_.解析抛物线y22p*(p>0)的焦点坐标是(，0)，由两点间距离公式，得5.解得p4.答案412假设椭圆*2my21的离心率为，则它的长半轴长为_解析当0<m<1时，1，e21m，m，a24，a2；当m>1时，1，a1.应填1或2.答案1或213双曲线1(a>0，b>0)和椭圆1有一样的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_解析由题意知，椭圆的焦点坐标是(±，0)，离心率是.故在双曲线中c，e，故a2，b2c2a23，因此所求双曲线的方程是1.答案114设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，假设F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_解析由题意，知PF2F1F2，且F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|F1F2|2c，|PF1|·2c，从而2a|PF1|PF2|2c(1)，所以e1.答案1三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15(10分)双曲线C与椭圆1有一样的焦点，直线y*为C的一条渐近线求双曲线C的方程解设双曲线方程为1(a>0，b>0)由椭圆1，求得两焦点为(2，0)，(2，0)，对于双曲线C：c2.又y*为双曲线C的一条渐近线，解得a21，b23，双曲线C的方程为*21.16(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，5)、F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程解由共同的焦点F1(0，5)、F2(0，5)，可设椭圆方程为1；双曲线方程为1，点P(3，4)在椭圆上，1，a240，双曲线的过点P(3，4)的渐近线为y*，即4×3，b216.所以椭圆方程为1；双曲线方程为1.17(10分)抛物线y22*，直线l过点(0，2)与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程解由题意，知直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为yk*2(k0)，解方程组消去*得ky22y40，416k>0k<(k0)，设M(*1，y1)，N(*2，y2)，则y1y2，y1·y2，*1·*2(y1·y2)2OMONkOM·kON1，*1·*2y1·y20，0，解得k1.所以所求直线方程为y*2，即*y20.18(12分)椭圆1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求CDF2的面积解(1)易得椭圆方程为y21.(2)F1(1，0)，直线BF1的方程为y2*2，由得9*216*60.1624×9×640>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C(*1，y1)，D(*2，y2)，则|CD|*1*2|··，又点F2到直线BF1的距离d，故SCDF2|CD|·d.19(12分)抛物线y24*截直线y2*m所得弦长AB3，(1)求m的值；(2)设P是*轴上的一点，且ABP的面积为9，求P的坐标解(1)由得4*24(m1)*m20，由根与系数的关系，得*1*21m，*1·*2，|AB|.由|AB|3，即3m4.(2)设P(a，0)，P到直线AB的距离为d，则d，又SABP|AB|·d，则d，|a2|3a5或a1，故点P的坐标为(5，0)和(1，0)圆锥曲线综合二(考试时间90分钟，总分值120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1以1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：双曲线1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±2)，故所求椭圆的焦点在y轴上，a4，c2，b24，所求方程为1，应选D.答案：D2设P是椭圆1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，假设|PF1|等于4，则|PF2|等于()A22 B21C20 D13解析：由椭圆的定义知，|PF1|PF2|26，又|PF1|4，|PF2|26422.答案：A3双曲线方程为*22y21，则它的右焦点坐标为()A.B.C.D(，0)解析：将双曲线方程化为标准方程为*21，a21，b2，c2a2b2，c，故右焦点坐标为.答案：C4假设抛物线*22py的焦点与椭圆1的下焦点重合，则p的值为()A4 B2C4 D2解析：椭圆1的下焦点为(0，1)，1，即p2.答案：D5假设kR，则k>3是方程1表示双曲线的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：方程1表示双曲线的条件是(k3)(k3)>0，即k>3或k<3.故k>3是方程1表示双曲线的充分不必要条件应选A.答案：A6F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·0的点M总在椭圆部，则椭圆离心率的取值围是()A(0,1) B.C.D.解析：由·0可知点M在以线段F1F2为直径的圆上，要使点M总在椭圆部，只需c<b，即c2<b2，c2<a2c2,2c2<a2，故离心率e<.因为0<e<1，所以0<e<.即椭圆离心率的取值围是.应选C.答案：C7抛物线C：y24*的焦点为F，直线y2*4与C交于A，B两点，则cosAFB()A.B.CD解析方法一：由得或令B(1，2)，A(4,4)，又F(1,0)，由两点间距离公式得|BF|2，|AF|5，|AB|3.cosAFB.方法二：由方法一得A(4,4)，B(1，2)，F(1,0)，(3,4)，(0，2)，|5，|2.cosAFB.答案：D8F1、F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245°，则AF1F2的面积为()A7 B.C.D.解析：|F1F2|2，|AF1|AF2|6，|AF2|6|AF1|.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|·|F1F2|cos 45°|AF1|24|AF1|8(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8，|AF1|.S××2×.答案：B9点M(3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A*21(*>1) B*21(*<1)C*21(*>0) D*21(*>1)解析：设圆与直线PM、PN分别相切于E、F，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|.|PM|PN|PE|ME|(|PF|NF|)|MB|NB|422<|MN|.所以点P的轨迹是以M(3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的一支，且a1，c3，b28，所以双曲线方程是*21(*>1)答案：A10设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.B.C2 D3解析：设双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：*c或*c，代入1得y2b2，y±，故|AB|，依题意4a，2，e212.e.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)11假设双曲线的渐近线方程为y±*，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的标准方程是_解析：由双曲线的渐近线方程为y±*，知，它的一个焦点是(，0)，知a2b210，因此a3，b1，故双曲线的方程是y21.答案：y2112假设过椭圆1一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_解析：设直线方程为y1k(*2)，与双曲线方程联立得(14k2)*2(16k28k)*16k216k120，设交点A(*1，y1)，B(*2，y2)，则*1*24，解得k，所以直线方程为*2y40.答案：*2y4013.如图，F1，F2分别为椭圆1的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三角形，则b2的值是_解析：POF2是面积为的正三角形，c2sin 60°，c24，P(1，)，解之得b22.答案：214抛物线y24*，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(*1，y1)，B(*2，y2)两点，则yy的最小值是_解析：显然*1，*20，又yy4(*1*2)8，当且仅当*1*24时取等号，所以最小值为32.答案：32三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题总分值12分)双曲线与椭圆1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程解析：由椭圆方程可得椭圆的焦点为F(0，±4)，离心率e，所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c4，a2，b2.所以双曲线方程为1.16(本小题总分值12分)设椭圆的中心在原点，焦点在*轴上，离心率e.点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程解析：设椭圆方程为1(a>b>0)，M(*，y)为椭圆上的点，由得a2b.|PM|2*22324b23(byb)，假设b<，则当yb时，|PM|2最大，即27，则b>，故舍去假设b时，则当y时，|PM|2最大，即4b237，解得b21.所求方程为y21.17(本小题总分值12分)设0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y*2上运动，点Q满足，经过点Q与*轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程解析：由知Q、M、P三点在同一条垂直于*轴的直线上，故可设P(*，y)，Q(*，y0)，M(*，*2)，则*2y0(y*2)，即y0(1)*2y.再设B(*1，y1)，由，即(*1，y0y1)(1*,1y0)，解得将式代入式，消去y0，得又点B在抛物线y*2上，所以y1*，再将式代入y1*，得(1)2*2(1)y(1)*2，(1)2*2(1)y(1)2*22(1)*2，2(1)*(1)y(1)0.因为>0，两边同除以(1)，得2*y10.故所求点P的轨迹方程为y2*1.18(本小题总分值14分)椭圆的长轴长为2a，焦点是F1(，0)、F2(，0)，点F1到直线*的距离为，过点F2且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F2B|3|F2A|.(1)求椭圆的方程；(2)求直线l的方程解析：(1)F1到直线*的距离为，.a24.而c，b2a2c21.椭圆的焦点在*轴上，所求椭圆的方程为y21.(2)设A(*1，y1)、B(*2，y2)|F2B|3|F2A|，A、