专题04 平面向量数量积的坐标表示、平面向量的应用（知识精讲）（原卷版） 附答案

专题四 平面向量数量积的坐标表示、平面向量的应用 知识精讲一 知识结构图内 容考点关注点平面向量数量积的坐标表示、平面向量的应用数量积的坐标表示公式运用向量平行、垂直的坐标表示 公式易混向量夹角夹角范围平面向量的应用向量有关公式二.学法指导1.数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解2. 求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：若a(x,y),则a·aa2|a|2x2y2,于是有|a|.3利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求模利用|a|计算两向量的模(3)求夹角余弦值由公式cos 求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及cos 求的值4涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助aba·bx1x2y1y20来解决5.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时,有两种思路：一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明6用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：转化：把物理问题转化为数学问题；建模：建立以向量为主体的数学模型；求解：求出数学模型的相关解；回归：回到物理现象中,用已获取的数值去解释一些物理现象三.知识点贯通知识点1 平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1,y1),b(x2,y2),则a·bx1x2y1y2例题1.已知a与b同向,b(1,2),a·b10.求a的坐标；若c(2,1),求a·(b·c)及(a·b)·c.知识点二 向量模的坐标表示向量模的公式设a(x1,y1),则|a|.例题2：(1)设平面向量a(1,2),b(2,y),若ab,则|2ab|等于()A4 B5 C3 D4(2)若向量a的始点为A(2,4),终点为B(2,1),求：向量a的模；与a平行的单位向量的坐标；与a垂直的单位向量的坐标知识点三 向量的夹角与垂直问题1.已知a(x1,y1),b(x2,y2),是a与b的夹角,那么（1）cos . （2）aba·bx1x2y1y20例题3 .(1)已知向量a(2,1),b(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是()A(2,)B.C(,2) D(2,2)(2)已知在ABC中,A(2,1),B(3,2),C(3,1),AD为BC边上的高,求|与点D的坐标知识点四 向量在平面几何中的应用1.用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算(2)坐标法：建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算例题4(1)已知非零向量与满足·0且·,则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在BC上,且BFFC21,AF与EC相交于点P,求四边形APCD的面积知识点五 平面向量在物理中的应用向量在物理中的应用(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化,借助于向量求和的平行四边形法则求解(2)用向量方法解决物理问题的步骤：把物理问题中的相关量用向量表示；转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决；结果还原为物理问题例题5.(1)一物体在力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)的配合作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)在这个过程中三个力的合力所做的功等于_(2)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|1,|F2|2,且F1与F2的夹角为,如图所示求F3的大小；求F2与F3的夹角五 易错点分析易错一 向量夹角的范围求坐标的范围例题6.已知向量a(2,1),b(1,k),且a与b的夹角为钝角,求实数k的取值范围。误区警示向量数量积大于0是向量夹角为锐角的必要不充分条件；向量数量积小于0是向量夹角为钝角的必要不充分条件。易错二 集合中元素的互异性例题7.已知平面向量a(1,x),b(2x3,x),xR.(1)若ab,求x的值；(2)若ab,求|ab|.错误区警示向量平行、垂直时,坐标关系易混。已知a(x1,y1),b(x2,y2),（1）aba·bx1x2y1y20；（2）。专题四 平面向量数量积的坐标表示、平面向量的应用 知识精讲一 知识结构图内 容考点关注点平面向量数量积的坐标表示、平面向量的应用数量积的坐标表示公式运用向量平行、垂直的坐标表示 公式易混向量夹角夹角范围 平面向量的应用向量有关公式二.学法指导1.数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解2. 求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：若a(x,y),则a·aa2|a|2x2y2,于是有|a|.3利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求模利用|a|计算两向量的模(3)求夹角余弦值由公式cos 求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及cos 求的值4涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助aba·bx1x2y1y20来解决5.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时,有两种思路：一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明6用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：转化：把物理问题转化为数学问题；建模：建立以向量为主体的数学模型；求解：求出数学模型的相关解；回归：回到物理现象中,用已获取的数值去解释一些物理现象三.知识点贯通知识点1 平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1,y1),b(x2,y2),则a·bx1x2y1y2例题1.已知a与b同向,b(1,2),a·b10.求a的坐标；若c(2,1),求a·(b·c)及(a·b)·c.【参考答案】a(2,4)0,(20,10)【解析】设ab(,2)(0),则有a·b410,2,a(2,4)b·c1×22×10,a·b10,a·(b·c)0·a0,(a·b)·c10(2,1)(20,10)知识点二 向量模的坐标表示向量模的公式设a(x1,y1),则|a|.例题2：(1)设平面向量a(1,2),b(2,y),若ab,则|2ab|等于()A4 B5 C3 D4(2)若向量a的始点为A(2,4),终点为B(2,1),求：向量a的模；与a平行的单位向量的坐标；与a垂直的单位向量的坐标（1）【参考答案】D【解析】由ab得y40,y4,b(2,4),2ab(4,8),|2ab|4.故选D.（2）【解析】a(2,1)(2,4)(4,3),|a|5.与a平行的单位向量是±±(4,3),即坐标为或.设与a垂直的单位向量为e(m,n),则a·e4m3n0,.又|e|1,m2n21.解得或e或e.知识点三 向量的夹角与垂直问题1.已知a(x1,y1),b(x2,y2),是a与b的夹角,那么（1）cos . （2）aba·bx1x2y1y20例题3 .(1)已知向量a(2,1),b(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是()A(2,)B.C(,2) D(2,2)(2)已知在ABC中,A(2,1),B(3,2),C(3,1),AD为BC边上的高,求|与点D的坐标(1)【参考答案】B【解析】当a与b共线时,2k10,k,此时a,b方向相同,夹角为0°,所以要使a与b的夹角为锐角,则有a·b>0且a,b不同向由a·b2k>0得k>2,且k,即实数k的取值范围是,故选选B.(2)【解析】设点D的坐标为(x,y),则(x2,y1),(6,3),(x3,y2)点D在直线BC上,即与共线,存在实数,使,即(x3,y2)(6,3),x32(y2),即x2y10.又ADBC,·0,即(x2,y1)·(6,3)0,6(x2)3(y1)0,即2xy30.由可得即D点坐标为(1,1),(1,2),|,综上,|,D(1,1)知识点四 向量在平面几何中的应用1.用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算(2)坐标法：建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算例题4(1)已知非零向量与满足·0且·,则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形(2)已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在BC上,且BFFC21,AF与EC相交于点P,求四边形APCD的面积(1)【参考答案】C【解析】由·0,得A的平分线垂直于BC,所以ABAC,设,的夹角为,而·cos ,又0,所以BAC,故ABC为等腰三角形(2)【解析】以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴建立直角坐标系,如图所示,A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),F(6,4),E(3,0),设P(x,y),(x,y),(6,4),(x3,y),(3,6)由点A,P,F和点C,P,E分别共线,得S四边形APCDS正方形ABCDSAEPSCEB36×3×3×3×6.知识点五 平面向量在物理中的应用向量在物理中的应用(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化,借助于向量求和的平行四边形法则求解(2)用向量方法解决物理问题的步骤：把物理问题中的相关量用向量表示；转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决；结果还原为物理问题例题5.(1)一物体在力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)的配合作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)在这个过程中三个力的合力所做的功等于_(2)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|1,|F2|2,且F1与F2的夹角为,如图所示求F3的大小；求F2与F3的夹角（1）【参考答案】40【解析】因为F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1),所以合力FF1F2F3(8,8),(1,4),则F·1×88×440,即三个力的合力所做的功为40.(2)【解析】由题意|F3|F1F2|,因为|F1|1,|F2|2,且F1与F2的夹角为,所以|F3|F1F2|.设F2与F3的夹角为,因为F3(F1F2),所以F3·F2F1·F2F2·F2,所以·2·cos 1×2×4,所以cos ,所以.五 易错点分析易错一 向量夹角的范围求坐标的范围例题6.已知向量a(2,1),b(1,k),且a与b的夹角为钝角,求实数k的取值范围。【参考答案】.【解析】当a与b共线时,2k10,k,此时a与b方向相反,夹角为180°,所以要使a与b的夹角为钝角,则有a·b0,且a与b不反向由a·b2k0得k2.由a与b不反向得k,所以k的取值范围是.误区警示向量数量积大于0是向量夹角为锐角的必要不充分条件；向量数量积小于0是向量夹角为钝角的必要不充分条件。易错二 集合中元素的互异性例题7.已知平面向量a(1,x),b(2x3,x),xR.(1)若ab,求x的值；(2)若ab,求|ab|.【参考答案】(1)x1或x3.(2)|ab|2或2.【解析】(1)若ab,则a·b(1,x)·(2x3,x)1×(2x3)x(x)0,即x22x30,解得x1或x3.(2)若ab,则1×(x)x(2x3)0,即x(2x4)0,解得x0或x2.当x0时,a(1,0),b(3,0),ab(2,0),|ab|2.当x2时,a(1,2),b(1,2),ab(2,4),|ab|2.综上,|ab|2或2.错误区警示向量平行、垂直时,坐标关系易混。已知a(x1,y1),b(x2,y2),（1）aba·bx1x2y1y20；（2）。知识改变命运8