三角形的中位线

马和中学马和中学 张虎元张虎元 2008.10.10 请同学们任意作一个四边形，依次连接它各边的中点，这时我们得到请同学们任意作一个四边形，依次连接它各边的中点，这时我们得到一个怎样的四边形呢？一个怎样的四边形呢？ABCDEFGH如图如图小明的做法小明的做法:连接每两边的中点，看上连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形，你认为这种去就得到了四个全等的三角形，你认为这种方法对吗？你能设法验证一下吗？方法对吗？你能设法验证一下吗？观察观察：左图的做法实际上作了这：左图的做法实际上作了这个三角形的三条中位线，个三角形的三条中位线，操作操作：沿着这三条中位线把这个沿着这三条中位线把这个三角形剪成了四个小三角形，然三角形剪成了四个小三角形，然后通过重叠可以知道这四个小三后通过重叠可以知道这四个小三角形全等。角形全等。分析：这个命题的分析：这个命题的条件条件是：三角形的一条中位线；是：三角形的一条中位线；结论结论是：这条中位线是：这条中位线平行平行与第三边，且与第三边，且等于等于第三边的一半（两个部分）。第三边的一半（两个部分）。BCADEF已知：如图，已知：如图，DE是是ABC的中位线。的中位线。21证明：延长证明：延长DE到到F，使，使EF=DE，连接，连接CF。AE=CE，AED=CEFAED CEF（SAS）AD=CF，ADE=FBDCF又又AD=BD CF=BD 四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形DFBC，DF=BCDEBC，DE=BC求证：求证：DE BC，DE=BC。21ABCMN212（p94三题）三题）已知三角形各边长分别是已知三角形各边长分别是8cm、10cm、和和12cm,求以各边中点为顶点的三角形的周长求以各边中点为顶点的三角形的周长 ABCDEF12cm10cm8cm如图：连接每两边的中点，看上去就得到了如图：连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形，你认为这种方法对吗？四个全等的三角形，你认为这种方法对吗？你能设法验证一下吗？你能设法验证一下吗？BACDFE证明：如图。在证明：如图。在ABC中，中，D、E、F分别是分别是ABC的边的边AB、BC、CA的中点，则的中点，则AD=DB，BE=EC、AF=FC、DFBC，DF=BCADF=B，DF=BEADF DBE同理可证同理可证 ADF FEC EFD21 2 2试一试：试一试：你能用“剪、拼”的方法，把一个三角形纸片变成一个与原来的三角形纸片面积相等的的平行四边形纸片吗？说明你这样做的理由。ABC【回到开始】【回到开始】如下图，任意作一个四边形如下图，任意作一个四边形ABCD，并将，并将其四边的中点其四边的中点E.F.G.H依次连接起来，得到一个新的四边形，依次连接起来，得到一个新的四边形，证明这个证明这个四四边形边形是平行四边形。是平行四边形。ABCDEFGH证明：连接BD，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，EHBD，EH=BDGFBD，GF=BDEH=GF，EHGF四边形EFGH是平行四边形。2121想一想：想一想：四边形四边形EFGH的周长与四边形的周长与四边形ABCD的对角线有什的对角线有什么关系？能证明你的结论吗？么关系？能证明你的结论吗？【P94一题】一题】注意：三角形中位线定理中有两个结论，一个平行关系，二是数量关系，应用时应根据需要选用相应的结论。2:中点三角形中点三角形FEDABC结论结论1：D DE E=1 12 2B BC C，D DF F=1 12 2A AC C，E EF F=1 12 2A AB BC CD DE EF F=1 12 2C C S S=1 14 4S S 结论结论2：结论结论3：3.中点四边形中点四边形FGHEABCD结论结论1：E EF F=H HG G=1 12 2A AC C，E EH H=F FG G=1 12 2B BD D结论结论3：C C E EF FG GH H=A AC C+B BD D 结论结论2：四四边边形形E EF FG GH H是是 结论结论4：S S E EF FG GH H=1 12 2S S四四边边形形A AB BC CD D