多元函数微分法在几何上的应用.ppt

8.4 多元函数微分法在几何上的应用,一 空间曲线的切线与法平面 二 曲面的切平面与法线,一 空间曲线的切线与法平面,1 空间曲线C的方程为,设点,其中,称为,曲线C在点M处的切向量。,证,则割线MP的方程是,可改写为,便有,曲线C在点M处的法平面是过点M,且垂直于切线的平面，,它的方程为,例1 求螺旋线,在点,处的切线与法平面方程。,解,所以切线方程是,法平面方程是,即,解,所以切线方程是,法平面方程是,在,处的切线与法平面方程。,例2 求曲线,因此切向量,即,2 空间曲线C的方程为,不妨设,确定,例3 求曲线,在点,处的切线方程。,解,，解得,因此曲线在点,处的切向量,所以切线方程是,例4 求曲线,在点,处的切线方程。,解,方法一,，解得,因此曲线在点,处的切向量,所以切线方程是,方法二,曲线的一般方程可以化为参数方程,所以切线方程是,二 曲面的切平面与法线,1 曲面 的方程为,设点,其中,称为曲面,在点,处的法向量。,证,在曲面 上任意做一条过点 的曲线,由于,所以,即,它的方程是,例5 求曲面,在点,处的,切平面与法线。,解,记,则,切平面方程是,即,法线方程是,2 曲面,的方程为,或者,（指向向下）,（指向向上）,切平面方程,（可据此方程解释全微分的几何意义）,例6 求曲面,在点,处的切平面方程。,解,切平面方程是,即,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,法向量为,例7 求曲面,平行于平面,的切平面方程。,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),例8 证明曲面,上任意一点处的切平面和三,坐标面所围的四面体的体积为定数。,解,且,切平面方程为,化为截距式,注：,空间曲线C的方程为,，,则空间曲线C在点M处的切向量,可以取为这两个曲面,的法向量的向量积，,即,