辽宁工业大学高数习题课(11).ppt

第一章 函数与极限习题课 (二),函数的连续性,一、函数连续的基本概念,1函数连续的定义,右连续:,3函数连续与极限的关系,4间断点的分类,间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点：,跳跃间断点：,无穷间断点：,振荡间断点：,（左右极限都存在）,（左右极限至少 有一个不存在）,左右极限至少有一个是,二、连续函数的运算法则,1若 都连续; 则 也连续.,2若 都连续; 则 也连续.,3若 都连续; 则 也连续( 时).,4复合性质： 若 在点 连续; 在,连续, 则 在 连续.,三、闭区间上连续函数的性质,四、典型例题,分析 求函数连续点处的极限，则只需直接计算函数值。,解：,【例1】求下列极限：(1) (2),又 ，故当 时, 在 处连续.,解：因为,已知 在 内连续，所以在 处连续，则有,所以,【例4】求函数 的间断点，并指出间断点的类型。,解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为,所以 为间断点。,而,所以 为第二类无穷间断点。,所以 为第一类可去间断点。,解: 由 的表达式, 间断点只能在无定义的点或分界点处,所以 是第二类无穷间断点.,当 时,所以 是第一类跳跃间断点.,当 时，,证明: 令,【例6】证明方程 在区间 内至少有一个根.,则 在 上连续,又,由零点定理，至少 , 使得,即,分析 如果令 ，那么证明方程 有根等价于 有零点，因此可用零点定理证明。,所以方程 在区间 内至少有一个根.,证明: 令,显然 在 上连续, 已知,故,则当 时, 可取 或 .,而当 时,由零点定理，至少 , 使得,分析 如果令 ，那么证明等式 成立等价于 有零点，因此可用零点定理证明。,即 .,分析 初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以只要弄清了间断点，也就清楚了连续区间 .,解：函数为初等函数，,为其间断点。,因为,所以 为第二类无穷间断点.,所以连续区间为 和,分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。,【例9】* 求函数 的所有间断点，并指出类型。,解: 当 时，,当 时，,当 时，,所以,故 是 的跳跃间断点;,故 也是 的跳跃间断点;,因为,因为,